あらゆる数は等比級数の和であらわすことができるのでしょうか

質問

あるいは級数の和であらわせないような数も存在するのでしょうか。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>初項z/2，公比z/2の等比級数を考えればよい．

まちがった(^^;; 公比は1/2です．
けどこれは反則だったかな・・
けど，問題文の表現からだったら，
これもありです．
要は，z=a/(1-r)を満たすようにaとrを決めればいい．

こういう風に変えるとまた変わってくる
任意の実数xに対して，
xに収束する各項が有理数のみからなる等比級数は存在するか？
こうすると，答えは存在するとは限らない．
無理数であれば存在しないのは明らか
No.1さんのπなんかはその例．

条件を緩めて
任意の実数xに対して，
xに収束する各項が有理数のみからなる「級数」は存在するか？
とすると，これは存在する．
証明は，大学一年生の最初の微積分でならう
「任意の実数に収束する有理数列が存在する」
から明らか．

お礼

勉強する素材をたくさんいただきましてありがとうございます。

回答No.2

kabaokaba

1に収束する等比級数さえ作れば自明．
つまり，任意の複素数zに対して，
初項z/2，公比z/2の等比級数を考えればよい．

回答No.1

Ae610

例えば、π(パイ)は等比級数表現出来ない。
無限連分数展開ならば可能。

お礼

連分数を勉強してみたいと思います。ご教示ありがとうございました。