どんな数でも無限級数の和になるのでしょうか

質問

πやｅも級数の和と考える方が数学的なのだろうと想像しますが、どんな数でも何かの級数の和に必ずなっているのでしょうか。逆に決していかなる級数の和にもならない数というものも存在するのでしょうか。

回答No.15

arrysthmia

←No.13 補足
「肯定的に破棄」って何やねん。意味不。

No.13 で、濃度が違うと書いたのは、
No.10 No.12 No.14 のように有限の手順で構成できる数は可算だが、
級数は「無限回の加算」の結果なので、その限りではなく、
有限手順の数よりずっと多い　ということ。

実際、任意の実数が有理数項の級数で表されることは、
No.1 No.4 No.6 に書いてある。

お礼

多くのご教示をいただいても私の能力では全く理解できなかったというのが正直のところでした。しばらく勉強させていただきます。私にはポイントを差し上げる資格がありませんので、この欄をお借りしてすべてのご教示に対し感謝させていただきます。

回答No.14

noname#130082

私も、No.10とNo.12について。
各項が有理数の無限級数で実数を表すことは必ずできます（沢山のやり方でできます）。無限小数を級数と考えればいいわけですから。

ただし、例えば、コンピュータの性能を測るために、円周率πを何桁まで計算できるか？という話はよくあります。つまり、πの各桁を計算するプログラム（コンピュータの中に入れられるので有限の大きさ）が存在するわけです。各桁だけでなく、無限級数の各項が何であるかをコンピュータで計算できる（nを入力したときa[n]を出力する（必ず停止する）プログラムが作れる）実数全体は可算無限個しかありません。

つまり、「各項が何であるかを計算するプログラムが、どうやっても作れない実数」が沢山あるわけです。

補足

πやeに対する素朴な（根拠がない）疑問からさせていただいた質問でしたが多数の方に教えていただいて自分の勉強不足を痛感いたしております。素人の悲しさ、はじめの質問に対する理解が深まらないままπやｅと同じような資格を持った数というものがほかにも多数あるのだろうかというように疑問が変形してきました。

回答No.13

arrysthmia

No.10 No.12 について：

任意有限回の演算で表される数の全体は、可算無限個ですが、
各項が有理数であるような級数全体は、そうではありません。
級数を定める操作は、無限回の加算を含みますからね。

数列は、添字から各項の値への写像とみなすことができますから、
有理数列の総数は、2^(有理数の総数) です。
べき集合の濃度が、もとの集合の濃度より真に大きいことは、
保証されています。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/taikaku/node5.html

補足

濃度が大きければ私の素朴な疑問は肯定的に破棄して大丈夫ということですね。

回答No.12

mis_take

π＝3.1415… のように無限小数で表されます。
この無限小数というのが，そもそも
3+0.1+0.04+0.001+0.0005+…
という無限級数の和に他なりません。
（余談ですが，0.9999…＝0.9+0.09+0.009+0.0009+…＝１ です）

質問者さんは，これが「級数ですか」と疑問をお持ちです。
たぶん「πの値を定義する級数ですか」，「πの値を知らなければ書けないのではないですか」
という疑問なのだと思います。
級数というよりも計算方法（アルゴリズム）と言った方がふさわしいのではないでしょうか。
すなわち「どんな数でも計算方法があるのですか」と。

計算方法は日本語（英字や記号を含めて）の文章で表されますから可算個しかありません。
ほとんどの実数が計算方法はないということになります。

お礼

級数に対する私の理解がなってなかったようです。ご教示に感謝いたします。

回答No.11

orcus0930

No10です。
もちろん級数に含まれます。

a[n]はnの式で書けなければならないということはありませんし、
a[1],a[2],・・・・を個々に定めても何ら問題はありません。

逆に、なんでこれを級数と思えないんですか?

数の列の和なんだから、当然級数。

お礼

勉強し直します。ご教示ありがとうございました。

回答No.10

orcus0930

級数の各項に用いていい数の条件によって変わります。
用いてより数が実数ならば、
1/2+1/4+1/8+…=1を実数倍すればあらわせます。

次に、用いてよい数が有理数の場合、あらわせない数が存在します。
No7の方の言い換えですが、
有理数は整数÷整数であらわされるので、
整数が可算無限個（1番目=0,2番目=1,3番目=-1,4番目=2…と順番付けして数え上げられるが、無限個あるということ）
なので、
その組み合わせである、有理数も可算無限個になります。
その有理数の級数も、a[n]=(nの式)で表れるものは可算無限個になります。

実数は、非可算無限個（実数のすべての数に番号を付けることができない）なので、有理数の級数で実数全体をあらわすことは不可能です。

ただし、
a[n]をnの式であらわさなくてもよいのなら、
一の位を0桁目、十の1桁目、百の位を2桁目、、、、
小数第一位を-1桁目、第二位を-2桁目、、、、
とすれば、
a[n]=b[n]×10^n、b[n]=(n桁目の数)
として、
Σ[n=-∞～∞]a[n]であらわせます。

例：π
b[1]=b[2]=b[3]=…=0
b[0]=3,
b[-1]=1,b[-2]=4,b[-3]=1,b[-4]=5,…
として、πをあらわせます。

補足

私の理解力が弱いこと疑問だと思いますが、最後のπの表し方も級数と言えるのでしょうか。ほかの方にも同様の疑問を差し上げたのですが、おそらく私の不明のいたすところと想像いたします。

回答No.9

Ishiwara

どんな数でも無限級数の和になり得ます。
Ａという数を考えてみましょう。
Ａ/２＋Ａ/４＋Ａ/８＋Ａ/１６＋‥
はＡです。

補足

Ａが確定していなくてもよろしいのでしょうか。何となく未知数を既知数として扱っている過程でいつの間にか未知数が既知数になってしまうような感じを持ちます（非常に非数学的な輩の申し方で済みません）

回答No.8

noname#130082

「数」というのは実数や複素数のことを表しているのでしょうか？

例えば、実数の場合、無限小数で表せますので、必ず、
π＝3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...
などと表せます。（No.6さんの回答の言い換えですが）。

補足

これも級数に入るのでしょうか。

回答No.7

mis_take

「何かの級数」というのを，「第ｎ項を具体的にｎの式で表すことができる級数」という意味でしたら，それは不可能です。
具体的な式は可算個しかないのに，実数は非可算個あるから。

お礼

私には難しすぎるご教示でしたが、ご教示いただいたことに対しお礼申し上げます。

回答No.6

mis_take

任意の実数ｘは１０進法の無限小数で表せます。
その小数部ｎ桁以降を切り捨てた数をｘ_nとすれば，ｘ_n→ｘ ですね。
例
3 3.1 3.14 3.141 3.1415 … →π
1 1.9 1.99 1.999 1.9999 … →２

補足

これは級数なのでしょうか。