数IIIの問題（定積分・面積）

質問

C:y=x^2＋2の下側にある点PからCに引いた2本の接線とCとで囲まれる図形の面積をSとする。

(1) 2つの接点をQ,Rとし、この2点のx座標をそれぞれα,β(α<β)とおく。Sをαとβを用いて表せ。
(2) 点Pが、直線y=x上を動くとき、Sの最小値を求めよ。

この問題の答えと説き方を教えてください。
お願いします。

回答No.1

springside

これ、結構面倒ですね。
（以下、単純計算は省略します。）

(1)点Pの座標を(p,q)とおく。点Q(α,α^2+2)を通るCの接線は、
y=2αx-α^2+2で、これが点Pを通るから、q=2αp-α^2+2　　※1
同様に、q=2βp-β^2+2
したがって、2αp-α^2+2=2βp-β^2+2となり、これを変形すると、p=(α+β)/2　※2
となる（α≠βを用いた）。

さて、ベクトルPQ=(α-p,α^2+2-q),ベクトルPR=(β-p,β^2+2-q)なので、
△PQRの面積は、(1/2)|(α-p)(β^2+2-q)-(α^2+2-q)(β-p)|となり、
※1,※2を使って整理すると、(1/2)|(1/2)(α-β)^3|と変形でき、α＜βなので、
結局、△PQRの面積は(1/4)(β-α)^3となる。

すると、直線QRの方程式をy=f(x)とおくと、
S=△PQR - ∫[α-β]{f(x)-(x^2+2)}dx
=(1/4)(β-α)^3 - ∫[α-β]{-(x-α)(x-β)}dx
=(1/4)(β-α)^3 - (1/6)(β-α)^3
=(1/12)(β-α)^3
である。

(2)
p=qであること、及び※1より、α,βは、xの２次方程式x^2-2px+p-2=0
の解なので、解と係数の関係より、α+β=2p,αβ=p-2

よって、(β-α)^2=(α-β)^2-4αβ
=4(p^2-p+2)
=4{(p-1/2)^2+7/4}
となり、p=1/2のとき、最小値7/4をとる。

すると、S=(1/12)(β-α)^3
=(1/12){(β-α)^2}^(3/2)
なので、Sは、p=1/2のとき、最小値(1/12)(7/4)^(3/2)=(7√7)/96をとる。