サンクトペテルブルグのパラドックスの問題なのですが、全く解き方がわかり

質問

サンクトペテルブルグのパラドックスの問題なのですが、全く解き方がわかりません。

コイン投げをして、初めて表が出た回数によって賞金がもらえる。
ｎ回目に初めて表が出たとき、２＾ｎ万円もらえるとする。
ただしこのゲームには参加料がいる。
問題
どれくらいの参加料までなら、このゲームに参加するか。（ヒント：ｘ円の本来の価値Ｕ（ｘ）はｌｏｇｘであるとする）

回答No.1

proto · ベストアンサー

全く解き方がわかりません、とありますが、解き方以前に問題の意味が理解できていますか？
意味が理解できるなら、解き方もくそも無くただの計算問題です。

さて、このゲームではコイン投げの結果によって賞金が出ますから、公平な立場でゲームを運営しようと考えるなら(参加料)＝(得られる賞金の期待値)とするのが妥当です。
しかし、サンクトペテルブルグのパラドックスの問題と書いてある通り、このゲームの賞金の期待値は有限な値には収束しません。
1回のゲームで得られる賞金をx(万円)とすると、xの期待値は
　　E(x) = 2*(1/2) +4*(1/4) +8*(1/8) +... +(2^n)*(1/2^n) + ...
　　　　 = 1+1+1+....+1+...
となり右辺は明らかに収束しません。

そこで賞金の金額から参加料を決めるのではなく、賞金の"価値"から参加料を決めることを考えます。
＞ヒント：ｘ円の本来の価値Ｕ（ｘ）はｌｏｇｘであるとする
とあるように、x(万円)のお金が持つ価値はlog(x)であると考えます。

このlog(x)の底が2なのか10なのかeなのか分かりませんが、仮に底が2だとして、
　　1万円が持つ価値は、log(1)=0
　　2万円が持つ価値は、log(2)=1
　　3万円が持つ価値は、log(3)=1.5849625
　　4万円が持つ価値は、log(4)=2
　　100万円が持つ価値は、log(100)=6.64385619
という具合に賞金の持つ価値を決めます。

そしてこのゲームの参加料を、
　　(参加料の持つ価値) = (得られる賞金の持つ価値の期待値)
で、決めようという事です。
得られる賞金の持つ価値の期待値は
　　E(log(x)) = log(2)*(1/2) +log(4)*(1/4) +log(8)*(1/8) +... +log(2^n)*(1/2^n) + ...
　　　　　　　= log(2)*(1/2) + 2*log(2)*(1/4) +3*log(2)*(1/8) +... +n*log(2)*(1/2^n) +...
　　　　　　　= log(2)*{1/2 +2/4 + 3/8 +... +n/(2^n) +...}
となり、右辺は収束します。実際に計算してください。

最後に、
　　(参加料の持つ価値) = (得られる賞金の持つ価値の期待値)
　　log(参加料) = E(log(x))
より
　　(参加料) = 2^E(log(x))
として参加料を求めれば終わりです。
(対数の底が不明なため、右辺は仮に2^E(log(x))と書きましたが、正しい底がわかるなら適当に読み替えてくださいね)

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

答えがないからパラドックスと呼ばれているのではないですか？

どういう答えを期待しているんでしょうか。