関数ｘの絶対的連続とは．．．

質問

絶対的連続をご存知の方，ご教授くださいませんか．

まず，
関数ｘ(t)→R(実数空間)が，絶対連続のとき，以下のことが成り立つ．

あらゆるεに対して，次のようなδが存在する，
すなわち，もし（a(k),b(k)）が，
Σ（ｋ＝1→ｎ）（b(k)－a(k)＜δ
となるような，閉区間「時間0，時間T」を含んでいるdisjoint intervals(意味がわかりません)であるならば，そのとき
Σ（ｋ＝1→ｎ）｜ｘ{b(k)}－ｘ{a(k)｝｜＜ε
が成り立つ．

ここで，

ただし，記号の注意として，
・ｘ(t)は，ここでは時間ｔの関数とします．
・（ｋ）は数列の添字で，K＝1，2，3，・・・，ｎ
a(k)，ｂ(k）は関数記号ではない．
・記号の縦棒は，｜・・｜は，絶対値
となります．

どうして，これが絶対的な連続条件なのですか？
Σ（ｋ＝1→ｎ）（b(k)－a(k)＜δ　とか
Σ（ｋ＝1→ｎ）｜ｘ{b(k)}－ｘ{a(k)｝｜＜ε
でどうして総和をとったりするのか？
ｂとかaと言う記号が出てくるのか？意味がよく分かりません．

このあたりはうといので，丁寧に教えてくれると幸いです．

回答No.1

adinat · ベストアンサー

disjoint intervalsというのは互いに交わらない区間の集まりという意味です。

通常、絶対的連続(絶対連続)というのはルベーグ積分に対して絶対連続という意味に使います。その他の場合は特定の測度に対して絶対連続である、というような使い方をします。

これはそもそも実解析(ルベーグ積分論)で出てくる概念ですので、大学の数学科の3回生ぐらいで習う、ルベーグ積分論をきちんと学んだほうが意義が分かりやすいかもしれません。物理学科の人もちょっと敬遠してしまう人も多いので、ちょいと面倒な分野ですが。

簡単に言っておくと、(ルベーグ測度に対して)絶対連続というのは通常の連続性より強い条件です。絶対連続ならほとんど至るところ微分が可能です（連続でもどの点でも微分不可能な高木関数や、ワリエルストラスの関数などが知られています）

また可積分関数を積分したような関数は絶対連続になります。とりあえずそのような通常の連続性よりも強い連続性の概念を定義すると、いろいろ便利である、というぐらいの認識でよいのではないでしょうか。

ほんとうは測度論の絶対連続性μ<<ν(ν(A)=0なら常にμ(A)=0となる)をユークリッド空間のルベーグ測度に適用したものとみるのが現代流の解釈ですが、結構複雑な話ですので、「連続性より強い概念」というふうに思ってください。

不安なら、絶対連続⇒連続を証明、さらに連続だが絶対連続でない関数の例を考えてみられてはどうでしょうか。ルベーグ積分と名のつく大抵の本に書いてあるはずです。

お礼

回答をありがとうございます．
通常の連続や微分可能性ではわかりませんでしたが，やはり，ルベーグ積分のほうで関係していたんですね．高木貞治の解析概論でいま見てみましたが，なかなか難しいようです．回答者様のくだけた説明がたいへんわかりやすかったです．ありがとうございました．