ベッセル関数： 本の記述は誤字？
ベッセル関数について、次の関係式が成り立つことを示せ。
ただし、nは正の整数とする。
{ x^n * J[n](x) }' = x^n * J[n-1](x)
模範解答
J[v](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(v+m+1) } * (x/2)^(2m+v)
を用いる。
x^n * J[n](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) ←誤字？
x^n = 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+2n) ←誤字？
であるから、
d/dx { x^n * J[n](x) } = 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (m+n) * (x/2)^(2m+2n-1)
= x^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (m+n) * (x/2)^(2m+n-1)
ガンマ関数の性質Γ(n+m+1) = (n+m) Γ(n+m) を用いると
d/dx { x^n * J[n](x) } = x^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m) } * (x/2)^(2m+n-1)
= x^n * J[n-1](x)
・・・と本に書かれていますが、模範解答の最初の部分は誤字ではないかと疑っています。
x^n * J[n](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n)
の
x^n * J[n](x)
は、本当は
J[n](x)
と書くべきの誤字じゃないですか？ それと同様に
x^n = 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+2n) ←誤字？
の
x^n
は、本当は
J[n](x)
と書くべきの誤字じゃないですか？
自分で解いてみますと、
J[v](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(v+m+1) } * (x/2)^(2m+v)
を用いて、
x^n * J[n](x) = x^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n)
= Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * x^n * (2^n/2^n)
= Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * (x^n/2^n) * 2^n
= Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * (x/2)^n * 2^n
= 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * (x/2)^n
= 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+2n)
・・・という感じで誤字だと思われる部分を計算しています。
よって、本の記述は、上記に示した通りの誤字ということで正しいですか？
もし私が間違っていたら、どうか訂正をお願いします。
お礼
う～ん、やはり積分できないですね。 もう一度出直してみます。
補足
それぞれフーリエ余弦展開、正弦展開すればいいわけですね。 で、係数を求めるべく積分しようとしたのですが・・・ 三角関数の引数にさらに三角関数が入ってますから、 どうやって積分していいものやら・・・。