ベータ関数とガンマ関数の関係

質問

ベータ関数とガンマ関数の関係
B(x，y)＝Γ(x)Γ(y)/Γ(x＋y)より
自然数n，mに対して
1／B(n，m)＝n＋mＣn
となるそうなのですが，計算するとどうもそうなりません．実際に計算すると
Γ(n）＝(n－1)!，Γ(m)＝(m－1)!，
Γ(n＋m)＝(n＋m－1)!から
1／B(n，m)＝(n＋m－1)!／{(n－1)!(m－1)!}
＝[nm／(n＋m)]×(n＋m)!／(n!m!)
＝[nm／(n＋m)]×n＋mＣn
となってしまい，[nm／(n＋m)]が余分についてきます．
テキストのミスでしょうか？それともこの計算どこか間違ってるでしょうか？

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

Rossana さんの計算で間違いはないと思います．
念のため，岩波の数学公式を見ました．
(1)　　1/B(n,m) = m× (n+m-1)Ｃ(n-1)
という公式が載っています．
右辺を変形しますと
(2)　　m(n+m-1)! / (n-1)!m! = {(mn/m+n)}× (n+m)!/ n!m!
　　　　= {(mn/m+n)}× (n+m)Ｃn
で Rossana さんの結果と同じになります．

どうもテキストのミスのようですね．
どういうテキストか知りませんが，テキストにも結構ミスはあります．
著者の間違いもあるし，ミスプリもあります．
岩波の数学公式集のように長年広く使われたものでも，
間違いはあるでしょう．
私も数個間違いを見つけたくらいですから．

お礼

ありがとうございます．安心しました！いろんな方向から眺めてもどうしても分からなくて質問しました．間違いだったんですね．テキストのこの部分をsiegmund先生に書いていただいた
　　　　1/B(n,m) = m× (n+m-1)Ｃ(n-1)
に書き換えようと思います．
いつもいろんな事を教わりお世話になります．先生に言われてから理数系の文章のときは句読点に気を配るようにしています．

回答No.2

fushigichan

Rossanaさん、こんばんは。
私も計算してみたら、Rossanaさんと同じになりました。

B(m+1,n+1)=m!n!/(m+n+1)!
=m!n!/(m+n+1)(m+n)!

なので、
1/B(m+1,n+1)=(m+n+1)*(m+n)!/m!n!
=(m+n+1)*(m+n)Cn

となるのではないかなあ、と思います。

1/B(n,m)={nm/(n+m)}*(n+m)Cn

となりました。
計算はあっていると思います。
参考URLは、全然大したことないページですみません。

参考URL：

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/beta-function.html

お礼

ありがとうございます．ご丁寧に計算もして頂き安心できました！参考URLも探して頂いて感謝です．