ある実関数の規格化に関して

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
数学音痴の社会人です。

γ(n,T,t) = (t^(n-1)) exp((1-n)t/T)という、t≧0で定義された実関数を考えます。ここに、T≧0、nは正の自然数です。

これを規格化した関数を求める手順が分かりません。規格化とはγ(n,T,t)×Aとすると
∫|γ(n,T,t)|^2dx=1となるようにAを選ぶことと認識しています。
しかし、答えは以下のようになることが分かっていますが、どういった手順で導けばよいか分かりません。

γのグラフの面積はnとTだけの式で以下のように書ける。←これもなぜなのか分かりません。併せてご教示頂ければ幸いです。(^^;)
A(n,T) = ∫γ(n,T,t)dt （積分範囲は0～∞）と表わせる。すると規格化した関数は次式で表わせる。

f(n,T,t) = γ(n,T,t)/A(n,T)

また、∫f(n,T,t) dt=1　(積分はt=0～∞）である。
追加的な質問で申し訳ありませんが、上記も自明ということらしいのですが、なぜ自明なのか分かりません。
どなたかご存知の方、いらっしゃいましたらご教示いただきたくお願いいたします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

へいっ、まいどっ

＞＞＞
１）まず、規格化でAを求めるときγ(n,T,t)dt の積分となるのはご回答頂いた中で、以下のとおりと理解しましたが、よろしいでしょうか。
１＝１／Ａ・∫γ(t)ｄｔより
よってＡ＝∫γ(t)ｄｔ
との認識でよろしいでしょうか。

よいですよ。
ただし、ノーマライズの考え方の順序は、
Ａ＝∫γ(t)ｄｔ　より　１＝１／Ａ・∫γ(t)ｄｔ
です。

＞＞＞
２）規格化の定義では∫|ｆ|^2 dt = 1　Ａ＝∫|γ|^2 dtと２乗なのに
どうして１乗の∫ｆ dt = 1　Ａ＝∫γ dtとなるのでしょうか。
＞規格化には色々あります。
＞このケースでは、文脈を見るに、どうもそういうことではないようです。
＞γの２乗ではなく、γの１乗のグラフの面積を１にするというイメージです。
というご回答について、できれば小生にも分かるようにご教示頂ければ幸いです。

前回回答のとおりです。ノーマライズ（規格化、正規化）という言葉の定義は１通りではないということです。
私の経験では、量子力学でしか２乗のノーマライズを使っていません。
たとえば、高校の確率統計で習う「正規分布」が、１乗のノーマライズです。
また、有名なところでは、確率密度関数も、１乗をノーマライズしたものです。確率の合計は１００％、つまり、ちょうど１でなくてはまずいですから。
また、
「このケースでは、文脈を見るに、どうもそういうことではないようです。」
と私が書いた理由は、ご質問文に
「f(n,T,t) = γ(n,T,t)/A(n,T)」
「また、∫f(n,T,t) dt=1　(積分はt=0～∞）である。」
と書かれていたからです。

＞＞＞
３）＞ｆは規格化された（面積が１になるようにした）関数なので、自明です。
すいません。小生の理解不足で申し訳有りません。１）の質問の答えがそのヒントになるような気がします。
１＝∫（１／Ａ・γ(t)）ｄｔ＝∫（１／（∫γ(n,T,t)dt） ・γ(t)）ｄｔ
＝∫（（γ(t)／（∫γ(n,T,t)dt））ｄｔ＝∫f(n,T,t) dt
と理解しましたがあってますでしょうか。ご教示頂ければ幸いです。

私は、γ(n,T,t)　を略して　γ（ｔ）と書いていましたが、
１つの式に混在するのは良くないですね。

とりあえず、γ（ｔ）に統一して、そこだけ書き直すと、

１　＝　∫（１／Ａ・γ(t)）ｄｔ
　＝　∫（１／（∫γ(t)dt） ・γ(t)）ｄｔ
　＝　∫（（γ(t)／（∫γ(t)dt））ｄｔ
　＝　∫f(t) dt

合ってますね。
合ってますけど、
１　＝　∫f(t) dt
　＝　１／Ａ・∫（γ(t)）ｄｔ
　＝　１／（∫γ(t)dt）・∫γ(t)ｄｔ
　＝　∫（（γ(t)／（∫γ(t)dt））ｄｔ
という順序で書くのが普通ですかね。

では、これにて退散・・・

お礼

懇切丁寧なご回答をありがとうございます。
おかげさまで頭の中がすっきりしました。
ご教示頂けた内容も理解できました。
ありがとうございます。

回答No.1

sanori

こんばんは。

規格化あるいは正規化という日本語は、normalization の訳語ですが・・・・・

＞＞＞
これを規格化した関数を求める手順が分かりません。規格化とはγ(n,T,t)×Aとすると
∫|γ(n,T,t)|^2dx=1となるようにAを選ぶことと認識しています。

規格化には色々あります。
このケースでは、文脈を見るに、どうもそういうことではないようです。
γの２乗ではなく、γの１乗のグラフの面積を１にするというイメージです。

すなわち、
∫|ｆ|^2 dt = 1　　Ａ＝∫|γ|^2 dt
ではなく、
∫ｆ dt = 1　　Ａ＝∫γ dt
です。

（余談ですが、私の経験上、２乗したものの面積を１にする規格化というのは、量子力学を学んだときに習ったぐらいです。それ以外は、１乗のままのグラフの面積を１にすることを規格化って言ってます。ちなみに、量子力学のほうも、２乗することにはちゃんと意味があって、波動関数を２乗することによって初めて粒子の存在確率を表すことができるということなんですけどね。）

＞＞＞
γのグラフの面積はnとTだけの式で以下のように書ける。←これもなぜなのか分かりません。併せてご教示頂ければ幸いです。(^^;)

面積は、ｔで定積分した結果なので、面積の式にｔが入らないということです。

たとえば、こういう例はいかがですか。
ｙ（ａ、ｘ、ｂ）　＝　ａｘ＋ｂ
で表される、傾きａ、ｙ切片ｂの直線があります。
ｘ＝０からｘ＝２までの部分の面積Ａは、
Ａ　＝　∫[x=0→2]（ａｘ＋ｂ）ｄｘ　＝　ａ∫[x=0→2]ｘ　＋　ｂ∫[x=0→2]１・ｄｘ
　＝　ａ・２^2／２　＋　ｂ・２　＝　２（ａ＋ｂ）
となり、結果の式にはｘが登場しません。
よって、ｘを使わずに、
Ａ（ａ、ｂ）＝　２（ａ＋ｂ）　と書けます。

＞＞＞
A(n,T) = ∫γ(n,T,t)dt （積分範囲は0～∞）と表わせる。すると規格化した関数は次式で表わせる。
f(n,T,t) = γ(n,T,t)/A(n,T)

これは、変数はｔただ一つ。ｎとＴは定数（あるいはパラメータ）として考えます。
考えた方は上記（直線の例）と同じです。
すなわち、

Ａ　＝　∫γ(t)ｄｔ
Ａを１にするのが規格化なので、両辺をＡで割って
１　＝　１／Ａ・∫γ(t)ｄｔ
　＝　∫１／Ａ・γ(t)ｄｔ

つまり、規格化した関数ｆ（ｔ）は、∫記号の後ろの関数
ｆ（ｔ）　＝　１／Ａ・γ(t)　＝　γ(t)／Ａ
となるわけです。

パラメータのｎ、Ｔを復活させれば、
ｆ（ｎ、Ｔ、ｔ）　＝　γ（ｎ、Ｔ、ｔ）／Ａ（ｎ、Ｔ）
です。

＞＞＞
また、∫f(n,T,t) dt=1　(積分はt=0～∞）である。
追加的な質問で申し訳ありませんが、上記も自明ということらしいのですが、なぜ自明なのか分かりません。

これは、ｆは規格化された（面積が１になるようにした）関数なので、自明です・・・・・というか、上の説明のとおりです。

では、頑張ってください。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
懇切丁寧で分かりやすく、ほんとうにありがとうございます。
ただしどうしても分からないところがあります。
＞∫|ｆ|^2 dt = 1　　Ａ＝∫|γ|^2 dtではなく、
＞∫ｆ dt = 1　　Ａ＝∫γ dtです。

１）まず、規格化でAを求めるときγ(n,T,t)dt の積分となるのはご回答頂いた中で、以下のとおりと理解しましたが、よろしいでしょうか。
１＝１／Ａ・∫γ(t)ｄｔより
よってＡ＝∫γ(t)ｄｔ
との認識でよろしいでしょうか。

２）規格化の定義では∫|ｆ|^2 dt = 1　Ａ＝∫|γ|^2 dtと２乗なのに
どうして１乗の∫ｆ dt = 1　Ａ＝∫γ dtとなるのでしょうか。
＞規格化には色々あります。
＞このケースでは、文脈を見るに、どうもそういうことではないようです。
＞γの２乗ではなく、γの１乗のグラフの面積を１にするというイメージです。
というご回答について、できれば小生にも分かるようにご教示頂ければ幸いです。

３）＞ｆは規格化された（面積が１になるようにした）関数なので、自明です。
すいません。小生の理解不足で申し訳有りません。１）の質問の答えがそのヒントになるような気がします。
１＝∫（１／Ａ・γ(t)）ｄｔ＝∫（１／（∫γ(n,T,t)dt） ・γ(t)）ｄｔ
＝∫（（γ(t)／（∫γ(n,T,t)dt））ｄｔ＝∫f(n,T,t) dt
と理解しましたがあってますでしょうか。ご教示頂ければ幸いです。