ベクトルの解説早めにお願いします

質問

高校2年生です。
塾の課題の内容なのですが、

4つの面が合同な三角形からなる四面体OABCにおいて、OA=√3 OB=√3 OC=√2とし、点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をＲとする。
また、OA=a OB=b OC=c(ベクトルは省略しています)とおく。

1内積a•b ,b•c, c•aを求めよ
2,ARをa,b,cを用いて表せ
3,線分OＲの長さを求めよ

参考書などで類題を探したり考えてみましたが、ベクトルは苦手なのでよく分かりません…

出来れば明日までに
解説をよろしくお願いします(>_<)

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞4つの面が合同な三角形からなる四面体OABCだから
AC=BC=√3、AB=√2。
余弦定理:AB^2=OA^2+OB^2-2OA*OB*cos∠AOBにより
cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2OA*OB)=2/3
同様にcos∠BOC=cos∠AOC=1/√6
ベクトルを↑、内積を↑・↑で表すと、
1内積a•b ,b•c, c•aを求めよ
＞↑a・↑b=|↑a|*|↑b|cos∠AOB=3*2/3=2・・・・答
↑b・↑c=|↑b|*|↑c|cos∠BOC=√6*1/√6=1・・・答
↑c・↑a=|↑c|*|↑a|cos∠AOC=√6*1/√6=1・・・答
2,ARをa,b,cを用いて表せ
＞s,tを実数として
↑AR=s↑AC+t↑AB=s(↑c-↑a)+t(↑b-↑a)=s↑c+t↑b-(s+t)↑a・・・(ア)
↑OR=↑a+↑AR=s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a
↑OR⊥↑ABだから↑OR・↑AB=0より
↑OR・↑AB={s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a}・(↑b-↑a)
=s↑c・↑b+t↑b・↑b-(s+t-1)↑a・↑b-s↑c・↑a-t↑b・↑a+(s+t-1)↑a・↑a=0
ここで↑c・↑b=1,↑b・↑b=3,↑b・↑a=↑a・↑b=2,↑c・↑a=1,↑a・↑a=3だから
↑OR・↑AB=s+3t-2(s+t-1)-s-2t+3(s+t-1)=s+2t-1=0・・・(イ)
同様に↑OR⊥↑ACだから↑OR・↑AC=0より
{s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a}・(↑c-↑a)
=s↑c・↑c+t↑b・↑c-(s+t-1)↑a・↑c-s↑c・↑a-t↑b・↑a+(s+t-1)↑a・↑a
=2s+t-(s+t-1)-s-2t+3(s+t-1)=3s+t-2=0・・・(ウ)
(イ)(ウ)を連立で解いてs=3/5,t=1/5
(ア)に代入して↑AR=(-4↑a+↑b+3↑c)/5・・・答
3,線分OＲの長さを求めよ
＞↑OR=s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a=(3↑c+↑b+↑a)/5
OR^2=↑OR・↑OR={(3↑c+↑b+↑a)/5}・{(3↑c+↑b+↑a)/5}
=(1/25)(9↑c・↑c+3↑c・↑b+3↑c・↑a+3↑b・↑c+↑b・↑b
+↑b・↑a+3↑a・↑c+↑a・↑b+↑a・↑a)
=(1/25)(9*2+3+3+3+3+2+3+2+3)=40/25=8/5
OR=√(8/5)=2√10/5・・・答

お礼

私にとって時間かかりそうですが自力でも解けるようにしようと思います……

丁寧な解答でとても分かりやすかったです
ありがとうございました!

回答No.1

Tacosan

1 だけ:
内積を求めるには何が必要ですか?

お礼

それぞれの大きさとcosの値でしょうか……
まだまだ私は基本的なことが出来ていないようです。
基礎からですね…!

ありがとうございました