数学 ベクトルの問題について

質問

問、ベクトルa=(３,１)と４５°の角をなす大きさ√５のベクトルbを求めよ。

求めたいベクトルをベクトルＰ1(X,　√５)とＰ2(√５,　Ｙ)とおきました。
┃ベクトルa┃=√３^2＋(－１)^2=√１０

┃ベクトルＰ1┃=√X^2＋√５=√X^2＋５　←√５の部分は二重根号になります。

┃ベクトルＰ2┃=√√５^2＋Ｙ2＾=√５＋√X＾2　←５の部分だけ二重根号になります。
※頭についてあるルートは全てにかかっています。

公式より
ベクトルa・ベクトルb=３×X＋１×√５=３X＋√５
ベクトルa・ベクトルb=３×√５＋１×Ｙ=３√５＋Ｙ

３X＋√５/√１０×√X＾2＋５=cos４５°=１/√５が２つできました。

この先がわからなくて困っています。

ベクトルを独学でやっておりまして知識があまりありません。
ですので一からの詳しいご解説の程をどうかよろしくお願いします。

間違っている箇所がありましたらご指摘ください。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

求めたいベクトルを(X,　√５)および(√５,　Ｙ)とおいてしまったら、
大きさが√５なのだからＸもＹもゼロになってしまいます。
ここから間違っています。

求めるベクトルを（ｘ、ｙ）とおくと、このベクトルとベクトルａの内積は
３ｘ＋ｙ
と表すことができます。
また、別の方法で上記の内積は
√１０＊√５＊ｃｏｓ４５°＝５
と表すこともできます。よって両者は等しくて
３ｘ＋ｙ＝５　・・・（あ）
となります。一方、ベクトル（ｘ、ｙ）の大きさは√５なので
ｘ＾２＋ｙ＾２＝５　・・・（い）
（い）に（あ）を代入するとｘの（またはｙの）二次方程式になるので
それを解いて下さい。

お礼

なるほど、そうやって解くのですね。
最初から間違っていたなんて、、、
よく復習します。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

asuncion

というわけで…

求めるベクトルを(x, y)とおく。このとき、
x^2 + y^2 = 5 ... (1)

また、(3, 1)と(x, y)のなす角が45°であるから、

cos45° = 1/√2 = (3x + y)/√50
3x + y = 5 ... (2)

(2)より、y = 5 - 3xを(1)に代入
x^2 + (5 - 3x)^2 = 5
10x^2 - 30x + 20 = 0
x^2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, 2
(2)に代入して、y = 2, -1

∴求めるベクトルは(1, 2), (2, -1)

お礼

ご解答の回答ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

何だか、スタートから違っているようです。

＞大きさ√５のベクトルb

ベクトル長 = √5
であるということは、そのベクトルを
(x, y)としたとき、
x^2 + y^2 = 5
ということです。

＞Ｐ1(X,　√５)とＰ2(√５,　Ｙ)とおきました。

答えが2つあること自体は正しいと思いますが、
(X, √5), (√5, Y)
とおいてしまうと、ベクトル長は、各々
√(X^2 + 5)
√(Y^2 + 5)
となり、これらが√5に等しくなるのは
X = 0
Y = 0
のときだけです。つまり、
P1(0, √5), P2(√5, 0)
となりますが、これらはY軸上、X軸上にありますので、
a = (3, 1)
と45°の角をなしません。

お礼

大きさ√５というのはそういう意味だったんですね。
理解が間違っていたようで、よく理解できました。
ご回答ありがとうございました。