高校数学なんですけど…

質問

△ABCの∠Aの二等分線とBCとの交点をDとする時、ADの長さを３辺a、b、cを使って表せ！という問題なんですが、数Bは範囲外でベクトルとかは使えないんです。
AD；AC＝BD；DCなんで、AD＝na＋mb/ｎ＋ｍとかって使えないんですかね？アドバイスお願いしまっす。

回答No.3

quantum2000 · ベストアンサー

ご返事が遅くなりました。
「回答に対する補足」の式は、すべて合っているようです。

ａ２乗 を ａ＾２、ｂ×ｃ２乗 を ｂｃ＾２、（ａｃ）２乗 を （ａｃ）＾２ などと表すとして、

「回答に対する補足」の式については、あとは、最後の式の両辺を（ｘは０でないので）まず２ｘで割ってから、左辺を因数分解すると、（共通因数の値が０でないとして）共通因数でさらに両辺を割ってから、ｘ＾２＝・・・の形に変形します。（なお、共通因数の値が０つまりｂ＝ｃの時も、下記の「正解」は正しく成り立っています。）

そして、最後に両辺の正の平方根を取ると（両辺に√を付けると）、ｘ＝・・・の形に持っていけます。
最後に、右辺をきれいに整えれば、正解となります！

ご健闘を！

お礼

本当にありがとうございました！！

回答No.2

quantum2000

まず、
AD；AC＝BD；DCなんで、AD＝na＋mb/ｎ＋ｍとかって使えないんですかね？
という点ですが、これは正確には、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ なんで、ＡＤ＝（ｎａ＋ｍｂ）／（ｎ＋ｍ）
ということだと思いますが、この右側の「公式」は「内分点」の「座標」を求める公式なので、今回質問の「角の二等分線」の「長さ（ＡＤ）」を求めるのには使えないと思います。

ではどうやって解くかというと、求めるＡＤ＝ｘとおいて、
前回削除になった同じ質問に対しての「Ｎｏ．２さんの回答」のように、

（１）まず、「角の二等分線の定理」より、ＢＡ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ なので、この事から、ＢＤとＤＣがそれぞれａ，ｂ，ｃで表せます。

（２）次に、△ＡＢＤにおいて、余弦定理を利用して、ｃｏｓＡをａ，ｂ，ｃとｘで表します。
同じようにして、△ＡＤＣにおいて、余弦定理を利用して、ｃｏｓＡをａ，ｂ，ｃとｘで表します。

（３）ところが今、ＡＤが角の二等分線だから、△ＡＢＤでのｃｏｓＡと、△ＡＤＣでのｃｏｓＡは、同じ値のはずです。
だから、（２）で出てきた２つの式が等しいと置くことができます。

（４）すると、その２つの式が等しいと置いてできた式をｘについて解くと、求めるＡＤ（＝ｘ）が出てきます。
このＡＤを表す式は、ルートの入ったちょっと複雑な式かもしれませんが、「前回のＮｏ．２さん」が述べているように、ｂとｃについては対称の形になっている式です。

どうぞご健闘を！

補足

ありがとうございます！言われたとおりにやると、cosα＝ｘ２乗＋c２乗－（ac/c+b)２乗/2xcとcosα＝ｘ２乗＋b２乗－（ab/c+b)２乗/2xbになりまして…
計算していくと、２ｘ〔（ｂ－ｃ）ｘ２乗＋ｂｃ２乗－ｂ２乗ｃ＋ａ２乗ｂｃ（ｂ－ｃ）／（ｃ＋ｂ）２乗〕＝0までいったんですけど、いいですかね？

回答No.1

pyon1956

削除されてましたのでヒントだけ。
三角関数を使います。
面積の公式とsinの倍角の公式、cosの半角の公式と余弦定理を組み合わせればできます。
数１と数2です。
もう少し詳しく言えば、△ABD+△ACD=△ABC
これを∠Aの半分を例えばαとおいて、面積の公式で求め、これよりAD=、という式を作る。
次に2倍角の公式をつかって2αとαのところを処理、
最後に余弦定理でcos2αを求めて、半角の公式（αは鋭角です）でcosαを求めて、それお先に求めた式に代入。

お礼

アドバイスありがとうございました！