2直線が直交する点の求め方が分かりません

質問

数学で分からない問題があるので質問させていただきます。

3つの点 A(Xa,Ya,Za)、B(Xb,Yb,Zb)、C(Xc,Yc,Zc)与えられているとして、
点A,Bを通る直線ABに、点Cから垂直に線を引く場合に、
2直線の交点D(X,Y,Z)の座標を求める方程式が分かりません。

(Xb-Xa)(X-Xc)+(Yb-Ya)(Y-Yc)+(Zb-Za)(Z-Zc)=0
一つは思いつきましたが、変数が3つあるのであと2つ
式が必要になると思います。

分かる方がいたら教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

求めた式がどういうものなのかを良く考察してください。
ある直線に対してCを通る直線が垂直になるような直線を
求めれば空間内では(その線を集めた)平面ができます。
(このイメージができますか？）
そして求めた式を見てみると

>　(Xb-Xa)(X-Xc)+(Yb-Ya)(Y-Yc)+(Zb-Za)(Z-Zc)=0

まさしく平面の式になっていますね。後はこの平面と直線ABの
交点を求めればいいのですよ。ちなみに直線ABの方程式は

(x-Xa)/(Xb-Xa)=(y-Ya)/(Yb-Ya)=(z-Za)/(Zb-Za)

式がさらに二つあるので交点が決まります。

お礼

>　(Xb-Xa)(X-Xc)+(Yb-Ya)(Y-Yc)+(Zb-Za)(Z-Zc)=0
この式は直交するベクトルの内積が0であるという定理から導いたのですが、
平面の式になっているとは思いませんでした。
これと、直線ABの式と、もう一つ式が必要なのでは、と
考えていたのですが直線の方程式は2つ式があるんですね。

問題を解くことができそうです。ありがとうございました。