星型五角形の色々な求め方 解説

質問

星形五角形の先端の角の和は１８０°になるという説明で以下の説明をもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。

(1)頂点Aから1筆書きの順に頂角を足し合わせ三角形の2つの内角の和が外角の１つに等しいという関係を繰り返し使って行き最後に１つの三角形の3つの内角に行き着く。先ずa+bを加えた角がどこかの外角に出来ませんか。その角とeを加え合わせた角が3角形の外角になっていませんか。
その角と角ｂと角cで1つの三角形の3つ内角を構成していませんか。
すべての角の和は三角形の内角の和の180度になる。
ボールペンを星型の辺にあわせて頂角の分だけ回転させていくと、すべての頂角分回転し最初の辺に一致したところで、ボールペンが逆方向を向きます。
ボールペンの回転角が各頂点の和になります。これから5つの頂角の和が180度と求まりる。

(2)点A～Eを結んで大きな五角形を作ります。
【大きな五角形の内角の和】－【周りの五つの鈍角三角形の内角の和】
＋【余分にひいちゃった鈍角三角形の鈍角の和】

(3)先ず、一番上の頂点から反時計回りにA,B,C,D,Eとします。
CとDを結びます。この時、∠B+∠E＝∠ECD+∠BDC
これによって、先端部分の全ての角が三角形ACDに集まった。三角形の内角の和は180°なので、求める角の和も180°である。

この3つ以外、またはhttp://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1531594このスレにあるやり方以外に求められるやり方があったらお手数ですがどうか教えて頂けないでしょうか。どうかお願い致します。

回答No.2

gabygaby · ベストアンサー

（１）の「三角形の2つの内角の和が外角の１つに等しい」
（３）の「∠B+∠E＝∠ECD+∠BDC」
はわかりますか？
これらは受験勉強前の中学生さんだと、まだ知らないかもしれません。

２つとも受験ではとても重要な性質です。
難しい図形問題を解くときに知っていると重宝します。

（もし知っていたら、この回答は読み飛ばしてください。）

（１）について

　＜図＞（星型とは別に）三角形ＡＢＣを書き、どこかの辺を外にのばしてください。
（どこでもいいのですが、とりあえず辺ＢＣを頂点Ｃの外に向けてのばしましょう。）
　＜式＞∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ(外角）
　＜理由＞左辺も右辺も∠Ｃ（内角）をたすと１８０°になるから。

（３）について

　＜図＞（今問題になっている星型を使いましょう。）
　　　　星型の点Ａからのびる２本の線を消してください。
　　　　とがった「８」のような図形になりましたか？
　　　　（私は「ちょうちょの図形」とよんでいます＾＾）
　＜式＞∠Ｂ＋∠Ｅ＝∠Ｃ＋∠Ｄ
　＜理由＞真ん中の交点をＯとし、三角形ＢＯＥと三角形ＣＯＤを考えます。
　　　　　・【三角形ＢＯＥの内角の和】－∠ＢＯＥ＝∠Ｂ＋∠Ｅ
　　　　　・【三角形ＣＯＤの内角の和】－∠ＣＯＤ＝∠Ｃ＋∠Ｄ
　　　　　・・・ここまでで大丈夫かな？

どちらも出どころは簡単なのですが、「利用して問題を解く」となると訓練が必要です。
またわからないところがあったら質問してください＾＾

補足

ありがとうございます。
理解はできたのですが、そこからどう先端部分は180°という説明にもっていくのでしょうか？
もしよろしければ教えていただきたいです。

回答No.7

BLUEPIXY

#5を修正
頂点１の角＝１８０－（１８０－内角１）－（１８０－内角２）
頂点２の角＝１８０－（１８０－内角２）－（１８０－内角３）
頂点３の角＝１８０－（１８０－内角３）－（１８０－内角４）
頂点４の角＝１８０－（１８０－内角４）－（１８０－内角５）
頂点５の角＝１８０－（１８０－内角５）－（１８０－内角１）
頂点の角の合算＝
内角の和×２－１８０×５
（五角形の内角の和＝１８０×３だから）
１８０×３×２－１８０×５
＝１８０
ちなみにこの方法でいくと
ｎ角形の時
（ｎ－２）×１８０×２－１８０×ｎ
＝１８０×（２ｎ－４－ｎ）
＝１８０×（ｎ－４）

回答No.6

gabygaby

実際に画用紙で星型を作って、切って並べて「はい、１８０°です！」
っていうのはだめですか？

レポートにするとインパクトがあっておもしろいと思うんですが・・・。
教科書に似たようなのが載ってたかも・・・。だめかな（＾＾；

回答No.5

BLUEPIXY

３つ以外ということで、１つ考えてみました。
今、（正）５角形の辺にそれぞれ（右回りに）名前を付けて
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ
とします。
そこで、辺Ａと辺Ｃを延長すると交わりそれを頂点１としますと、
そのような交わりを作る方向を→で表すと
頂点１（の角度）＝（Ｃ→）－（Ａ→）
で、Ｘ軸方向からの反時計方向に回る角度が得られます。
同様にして
頂点２＝（Ｄ→）－（Ｂ→）
頂点３の場合既に出てきた方向と逆の方向を使うので、それを
（Ｃ←）と表すと
頂点３＝（Ｅ→）－（Ｃ←）
以下同様に
頂点４＝（Ａ←）－（Ｄ←）
頂点５＝（Ｂ←）－（Ｅ←）
となります。
ここで、
頂点（１＋２＋３＋４＋５）で、全部足して整理すると
（Ａ←）－（Ａ→）
（Ｂ←）－（Ｂ→）
（Ｃ→）－（Ｃ←）
（Ｄ→）－（Ｄ←）
（Ｅ→）－（Ｅ←）
ここで、正反対の角度を引くと言うことは、
０－１８０＝－１８０
３０－２１０＝－１８０
の様に、（符号を正になるように選べば）１８０になりますから
そうしたペアが奇数個ありますから、
全体の角度（頂点の角の和）＝１８０度になります。

回答No.4

gabygaby

ボールペンの話はレポートにするにはかなりハイレベルかもしれませんが、
理解できるとおもしろいので、私なりの言葉で説明してみますね。

まず点Ａにボールペンの先をつけましょう。
そしてペンのお尻のほうを、これから進む方向（点Ｃ）の逆方向に倒します。

そのまま、点Ｃまで進みます。

ペン先が点Ｃに着いたら、次は点Ｅに進めるようペンを少しだけ傾けます（星型の頂点の角度だけ）。点Ｅにペン先が着くまで進みます。
（ペンのお尻のほうが星型の外までいきます）

またペンを傾けて、同じ要領で点Ｂ、点Ｄ、点Ａと進みます。

ペンの動きはこんな感じで、
『ペン先が常に星型上にあるようにしながら一周』します。

今度は、そのときのペンの回転に注目してみましょう。

どうですか？イメージつきましたか？

説明を書いてみてわかりました。これ、図なしで説明するの無理(笑）。

回答No.3

gabygaby

(1)について（ボールペンのところは別解ですから抜きますね。）

図を書いて説明できればわかりやすいのですが・・・。

まず、各点に名前をつけましょう。
星の頂点を反時計回りにＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ、そして
中の五角形の各点を、点Ａの反対の点（点ＣとＤの間）から反時計回りに
Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，ｊとしましょう。

次に赤ペンか太いペンを持って、点Ｅ→Ｃ→Ａ→Ｇの順で線を引いてください。
さて、問題。∠Ａ＋∠Ｃはどこの角になる？

ここで「三角形の2つの内角の和が外角の１つに等しい」を使うことに気づきましたか？
大丈夫なら、その調子で続けていけば、いずれ答えに行き着きますよ。

一応、答えを書いておくと・・・、
∠Ａ＋∠Ｃ＝∠ＥＧＨ
∠Ｂ＋∠Ｄ＝∠ＥＨＧ
よって、∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ
　　　＝∠ＥＧＨ＋∠ＥＨＧ＋∠Ｅ
　　　＝１８０°
（このパターンでの解き方はいろいろあります。）

補足

たくさんの回等ありがとうございました。
とても分かりやすかったです。
しかし投稿してくださった外角を利用した方法は既に発見済みの方法でしたので、お手数だとは思いますが、もしよろしければ別の方法をあと１つだけ考えて頂けないでしょうか。
ボールペンとその後別の方に回等して頂いたものはちょっと私では理解できなかったので・・・。

あと１つでレポート完了なんです＞＜
どうかお願い致します。

回答No.1

gabygaby

以前(2)を回答したものです(^-^)

＞【大きな五角形の内角の和】－【周りの五つの鈍角三角形の内角の和】
＋【余分にひいちゃった鈍角三角形の鈍角の和】

この式は理解していただけたでしょうか？ 文章での説明が下手なので
わかりづらいかもしれません。

★【大きな五角形の内角の和】＝５４０°
★【周りの五つの鈍角三角形の内角の和】＝１８０°×５
★【余分にひいちゃった鈍角三角形の鈍角の和】
　＝【中の小さな五角形の内角の和（それぞれの対頂角だから）】
　＝　５４０°

　５４０°－１８０°×５＋５４０°＝１８０°

図でわかってしまえば中学生らしくて、簡単な解き方だと思うのですが・・・。

お礼

おかげさまで理解できました。
ありがとうございました☆
もしよろしければ、あと１つ方法が見つかっていないのでそれを教えていただければ幸いです。