ジムソン線

質問

ジムソン線の証明

図のように、△ＡＢＣの外接円上の頂点以外の点Ｐから直線ＡＢ、ＢＣ、ＣＡに、それぞれ垂線ＰＤ、ＰＥ、ＰＦを下ろす。
このとき、次のことを証明せよ。
（１）角ＰＢＤ＝角ＰＥＦ
（２）３点Ｄ、Ｅ、Ｆは１つの直線上にある。

解説
角ＰＤＢ＝角ＰＥＢ＝９０°であるから四角形ＢＰＥＤは円に内接するゆえに角ＤＥＰ＋角ＰＥＦ＝１８０°
（１）の結果と(3)から角ＤＥＰ＋角ＰＥＦ＝１８０°
よって、３点Ｄ、Ｅ、Ｆは１つの直線上にある。

教えてほしいところ
角ＰＢＤ＝角ＰＥＦと□ＤＥＰＢは円に内接することは（１）で示すことができました。
四角形の外角は、それと隣合う内角の対角に等しいという性質を利用すれば、角ＰＥＦ外角ですよね。
そしたら、外角なので、当然ＤＥの延長線上にＦが来ます。よって１つの直線上にあると証明したんですが、なぜこれでは間違いなんですか？？

回答No.10

muturajcp · ベストアンサー

4/7の反例の場合(1)角PBD=角PEFが成立しません。
4/8の証明は少し煩雑なので以下のように変更します。

△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに、それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす。
外接円の中心に 0 を対応させ　点　P　に　1　を対応させて
外接円を単位円とする座標をいれて
点 A,B,C,D,E,F　に対応する複素数を
a,b,c,d,e,f　とすると
|a|=|b|=|c|=1　となるから

2d=a+b-ab+1
2e=b+c-bc+1
2f=c+a-ca+1

となる。

x~=(xの共役複素数)　とすると

4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d))
=(a-c)(b-1)(b~-c~)(a~-1)-(a~-c~)(b~-1)(b-c)(a-1)
=(c~a-ca~)(|b|^2-1)+(a~b-ab~)(|c|^2-1)+(cb~-bc~)(|a|^2-1)
+c(|b|^2-|a|^2)+a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)
+c~(|a|^2-|b|^2)+a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)

|a|=|b|=|c|=1 だから

(e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0

e-d と　f-d　の向きが等しいから

3点D,E,Fは1つの直線上にある

回答No.9

muturajcp

先ほど送りました反例によって(1)角ＰＢＤ＝角ＰＥＦが成立しない場合がありますが
#3さんの証明でもPEF=PCFが成立しませんの訂正証明を送ります。

△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに、それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす。
点 P,A,B,C,D,E,F　を外接円の中心を　0　とする　複素数として
　X~=(Xの共役複素数)　とすると
垂直点　D　、 E　、　F　は 　

(B~-A~)(2D-P)=(B-A)P~+AB~-BA~
(C~-B~)(2E-P)=(C-B)P~+BC~-CB~
(A~-C~)(2F-P)=(A-C)P~+CA~-AC~

となる.

4(|C-B||A-C||B-A|)^2((E-D)(F~-D~)-(E~-D~)(F-D))
=(B~C-C~B+AC~-A~C+BA~-B~A)^2((P~-B~)(P-A)(C-B)(A~-C~)-(P~-A~)(P-B)(C~-B~)(A-C))
=(B~C-C~B+AC~-A~C+BA~-B~A)^2(
(CA~-AC~)(|P|^2-|B|^2)+(BC~-CB~)(|P|^2-|A|^2)+(AB~-BA~)(|P|^2-|C|^2)
+(AP~-PA~)(|C|^2-|B|^2)+(BP~-PB~)(|A|^2-|C|^2)+(CP~-PC~)(|B|^2-|A|^2)
)

となる.

A,B,C,P は円周上の点で

|A|=|B|=|C|=|P|

となるから

4(|C-B||A-C||B-A|)^2((E-D)(F~-D~)-(E~-D~)(F-D))=0

|C-B||A-C||B-A|≠0 だから

(E-D)(F~-D~)-(E~-D~)(F-D)=0

E-D と　F-D　の向きが等しいから

3点D,E,Fは1つの直線上にある

回答No.8

muturajcp

△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに,それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす
とき

(1)角PBD=角PEF は成り立たない

反例)
P=(0,-5),A=(-3,4),B=(-5,0),C=(5,0)
とすると
外接円は　x^2+y^2=25
D=(-6,-2),E=(0,0),F=(3,1)

角PBD<90度<角PEF
で(1)角PBD=角PEF　は成立しない。

図を書いて確かめて下さい.図を添付します

回答No.7

muturajcp

△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに,それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす
とき

(1)角PBD=角PEF は成り立たないので間違いです

反例)
P=(0,-5),A=(-3,4),B=(-5,0),C=(5,0)
とすると
外接円は　x^2+y^2=25
D=(-6,-2),E=(0,0),F=(3,1)

角PBD<90度<角PEF
で(1)角PBD=角PEF　は成立しない。

図を書いて確かめて下さい.

回答No.6

muturajcp

△ABCの外接円上の頂点以外の点Pから直線AB,BC,CAに,それぞれ垂線PD,PE,PFを下ろす
とき

(1)角PBD=角PEF
は成り立たない反例)

P=(0,-5),A=(3,4),B=(5,0),C=(-5,0)
とすると
外接円は　x^2+y^2=25
D=(6,-2),E=(0,0),F=(-3,1)

角PBD<90度<角PEF
で
(1)角PBD=角PEF　は成立しない。

図を書いて確かめて下さい

回答No.5

muturajcp

次の3項目の内(a)(b)はよいですが (1)と(x)は証明が必要です。
(a)角PDB=角PEB=90度　だから　四角形BPEDは円に内接する
(b)角DEP+角PBD=180度
(1)角PBD=角PEF
(x)角DEP+角PEF=180度(←(1)と(3)からとなっているが、(3)はどこ?)

(a)(b)に加えて仮に(1)と(x)が成立しても角PEFが外角でない例)
P=(0,-1),B=(-3,0),D=(-1,1),E=(0,0),F=(-1,-1),G=(1,-1)
とすると
角PDB=角PEB=90度　だから　四角形BPEDは円に内接する…(a)
ベクトルDG=(2,-2)=2(ベクトルDE=(1,-1))だから
角PEGは四角形BPEDの外角となる
角DEP+角PBD=135度+45度=180度…(b)
角DEP+角PEF=135度+45度=180度…(x)
角PBD=角PEF=45度…(1)
外角PEG=角PEF=45度
ベクトルEF=(-1,-1)と外角ベクトルEG=(1,-1)は向きが90度異なるから
角PEFは四角形BPEDの外角ではない。

「円に内接する四角形の外角は、それと隣り合う内角の対角に等しい」とは
「四角形BPEDが円に内接しPEFが仮に外角ならば、それと隣り合う内角の対角に等しい」
といっているだけで、
四角形BPEDが円に内接し内角PEDの対角PBDと角PEFが等しくても、
EFがPEの内側にあれば角PEFは外角となりません。

四角形BPEDだけではなく、
四角形PFCE,PCABに円周角の定理や外角の性質等を利用して、
#3さんのように証明する必要があります。
#3さんの証明の1行目の
「角PEC=角PFC=90度なので，四角形PEDBは円に内接する．」
の　PEDB　は　PFCE　ではないでしょうか
以下に訂正した証明を記述します。

角PEC=角PFC=90度なので，四角形PFCEは円に内接する．
円周角の定理より　角PEF=角PCF・・・(A)
P，A，B，Cは同一円周上なので，
円に内接する四角形の外角の性質より　角PCF=角PBA・・・(B)
角PEB=角PDB=90度なので，四角形EDBPは円に内接する．
円に内接する四角形の外角の性質より　角PBA+角PED=180度・・・(C)
よって
角PED+角PEF=角PED+角PCF （(A)より）
= 角PED+角PBA （(B)より）
= 180度 （(C)より）
よって
3点D,E,Fは1つの直線上にある

補足

僕の証明はどこが証明不足なんですか？？
後、（１）の結果なので角PBD=角PEFは証明は無用です。
角DEP+角PEF=180度　これを証明する必要性がどうしてもわからないんです。
だから、僕は違う方法で証明しているんです。

後、ベクトル未だ習ってません。

回答No.4

Tacosan

ん? なんかひっかかる.
#3 でも言われてることなんだけど, 変に省略したりしないできちんと書いてもらえませんか?

補足

証明　角ＰＢＤ＝角ＰＥＦ・・・・・（１）の結果
　　　□ＤＥＰＢは円に内接する・・・・円周角の逆の定理
円に内接する四角形の１つの外角が、それと隣合う内角の対角に等しい
という性質と（１）の結果より、角ＰＥＦは□ＤＥＰＢの外角となる。
よって外角なので、当然ＤＥの延長線上にＦが来る。
よって１つの直線上にある。
以上

回答No.3

kabaokaba

証明以前に・・・「ジムソン」じゃなくって「シムソン」
「Simsonの定理」です．
それとそもそも(3)って何ですか？

>正しくは円に内接する四角形の１つの外角が、それと隣合う対角に等しいでした。
正しくないよ．
「円に内接する四角形の1つの外角は，
それと隣合う「角の」対角に等しい」

>＞その理由を書かないとダメだと思う
>書こうと思えば書けますが、性質として定義されています。
「性質として定義されてる」って何ですか？
性質は定義されるものではありません．証明されるものです．
変に省略しないでもっときちんと書きましょう．
はっきりいうと，そこのところが間違ってます．
角PEFが外角？どうして？
それって証明することでは？

ちなみにシムソンの定理は以下のように証明するのが一種の定石．

角PEC=角PFC=90度なので，四角形PEDBは円に内接する．
円周角の定理より　角PEF=角PCF・・・(A)
P，A，B，Cは同一円周上なので，
円に内接する四角形の外角の性質より　角PCF=角PBA・・・(B)
角PEB=角PDB=90度なので，四角形EDBPは円に内接する．
円に内接する四角形の外角の性質より　角PBA+角PED=180度・・・(C)
よって
角PED+角PEF=角PED+角PCF （(A)より）
= 角PED+角PBA （(B)より）
= 180度 （(C)より）

これをみれば
あなたの説明で欠けているものが分かりませんか？
まさに，No,1さんとNo.2さんのご指摘の部分が
どうなっているかよく考えて見ましょう．

No.2さんは「いちいち外角の性質を証明しろ」なんて
一言もいってないんですよ．
「何で外角なのかの理由がない」という指摘ですよ．

補足

＞正しくないよ
正しくは円に内接する四角形の１つの外角が、それと隣合う内角の対角に等しいでした。

＞角PEFが外角？どうして？
円に内接する四角形の１つの外角が、それと隣合う内角の対角に等しいから
これで問題ないですね。

回答No.2

Tacosan

うん, この「解説」の文章は #1 で指摘されてる部分がおかしいね.
あと, 「四角形の外角は、それと隣合う内角の対角に等しい」ってのも変. 一般の四角形では成り立たないよ.
ついでにいえば「角ＰＥＦ外角ですよね」も「どの角の外角なのか」を示さないと無意味だし, その理由を書かないとダメだと思う.

補足

すんません訂正です。
角ＤＥＰ＋角ＰＥＦ＝１８０→角ＤＥＰ＋角ＰＢＤ＝１８０
（１）の結果と(3)から角ＤＥＰ＋角ＰＥＦ＝１８０°
よって、３点Ｄ、Ｅ、Ｆは１つの直線上にある。
でした。
これは解説に書かれていたことです。
僕の考えは教えてほしいところの部分です。
＞四角形の外角は、それと隣合う内角の対角に等しい
すいません。少し、省きすぎました。
正しくは円に内接する四角形の１つの外角が、それと隣合う対角に等しいでした。
＞その理由を書かないとダメだと思う
書こうと思えば書けますが、性質として定義されています。
これは書く必要は確実にないでしょう。（もし、書けという指示があれば別）
貴方だって、証明で円に内接する四角形の１つの対角の和が１８０°であることをわざわざ証明しないですよね。それと同じです。
以上の部分を訂正すれば、僕の証明は問題ないですか？

回答No.1

OKXavier

>角ＰＤＢ＝角ＰＥＢ＝９０°であるから四角形ＢＰＥＤは円に内接する。
>ゆえに角ＤＥＰ＋角ＰＥＦ＝１８０°
ここの部分？

補足

何が言いたいでしょうか？？