空間ベクトル

質問

学校で空間ベクトルのところを勉強していて、今空間における２直線の共通垂線を考えています。
直線がx-a/l=y-b/m=z-c/nの形をしていたので、いろいろ試してみたのですがどうしても２直線の垂線が異なってしまいます。
垂線がHesseの標準形になると思うのですが、どうしてもわかりません。
今解いている問題は、
x-1/4=y-2/1=z/2
x-4/5=y+3/2=z+5/-2
です。
答えは自分で考えたいので、解き方のヒントを誰かお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> (x-1)/4=(y-2)/1=z/2…(1)
> (x-4)/5=(y+3)/2=(z+5)/(-2)…(2)
分子・分母の境界がはっきり区別できるように括弧をつける事。

2直線の方向ベクトルは、(4,1,2)と(5,2,-2)ですね。
2直線に垂直な共通垂線の方向ベクトルを(p,q,r)とすると、
直交条件は内積がゼロ、つまり次の2式が成り立たないといけませんね。
(4,1,2)・(p,q,r)=0…(A)
(5,2,-2)・(p,q,r)=0…(B)
ここからp,q,rの比を出せば
(p,q,r)=r(○,○,○)…(C)

共通垂線Lと直線(1)の交点を
(x1,y1,z1)とすると(1)式から
(x1-1)/4=(y1-2)/1=z1/2
=sとおくと
(x1,y1,z1)=(1,2,0)+s(△,△,△)…(3)
（C)から直線L:媒介変数表示で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(○,○,○)…(D)
と書ける。
(D)に(3)を代入
(x,y,z)=(1,2,0)+s(△,△,△)+t(○,○,○)
　　　=(1+△s+○t,2+△s+○t,△s+○t)…(4)
(4)が共通垂線だから直線(2)との交点座標(x2,y2,z2)は
(4)と(2)の交点から求まる。
(2)を媒介変数表示に直し(x2,y2,z2)を代入すると
(x2,y2,z2)=(4,-3,-5)+u(5,2,-2)=(4+5u,-3+2u,-5-2u)…(5)
また(4)から
(x2,y2,z2)=(1+△s+○t,2+△s+○t,△s+○t)…(4')
(4'),(5)から(s,t,u)の連立方程式
…
…
…
を立て、(s,t,u)について解けば
(s,t,u)=(□,□,□)…(6)
従って
(5)に代入
(x2,y2,z2)=(◇,◇,◇)
(3)から
(x1,y1,z1)=(▲,▲,▲)…(7)
共通垂線Lの式は
2点(x1,y1,z1)と(x2,y2,z2)の通る直線
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+k(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
書き換えると
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
から求められますね。

＞答えは自分で考えたいので、解き方のヒントを誰かお願いします。
あまり途中を抜くとお困りになるといけないので、途中の数値を抜いておきました。
共通垂線が求まり、２直線との交点が出たら、共通垂線であることの確認、２直線間の距離が交点間で最小になっている事を確認してみてください。

お礼

完璧と呼ぶべき解答をありがとうございます。

実際に計算した結果、何とか解が出ました。
Hesseの標準形にこだわりすぎて、見過ごしていた点も複数見つかりました。
本当にありがとうございます。