数列

質問

次の数列の初項から第n項までの和を求める

7,77,777,7777,…

7＋77＋777＋…
=7+(7+7・10）+（7+7・10+7・10＾2）+…

第k項akを求める方法がわかりません

参考書には
ak=7+7・10+7・10＾2+…+7・10＾(k-1)
=7((10＾k)-1)/10-1
=7/9・((10＾k)-1)
と書いてあり
上の
<ak=7+7・10+7・10＾2+…+7・10＾(k-1)
=7((10＾k)-1)/10-1
=7/9・((10＾k)-1)
がわかりません

Σ(k=1)ak=Σ(k=1)7/9・((10＾k)-1)
=7/81・(10＾(n+1)-9n-10)
の上の
=7/81・(10＾(n+1)-9n-10)
がわかりません。

回答No.6

kbannai

7,77,777,7777,…… の一般項をak (k=1,2,3,...,n)とすると、

ak=7+7*10+7*10^2+……7*10^(k-1) なので、右辺は、初項が7,公比が10の等比数列なので、公式より

ak=7*(10^k-1)/(10-1)=7/9*(10^k-1) (k=1,2,3,...,n)
が導かれます。

したがって、Σak (k=1,2,3,...,n)は、

Σak (k=1,2,3,...,n)
=(7/9)*Σ(10^k-1)
=(7/9)*{Σ(10^k)-n}
=(7/9)*[{10^(n+1)-10}/9-n]
=(7/81)*{10^(n+1)-9n-10}

恐らくつまづいているところは、等比数列の和を求めるところですよ！

回答No.5

ymmasayan

No.1、No.3のymmasayanです。

＞Σ10＾k の展開がわかりません

Ａ＝Σ(k=1　to　n)10＾k とします。
両辺を10倍します。
１０Ａ＝Σ(k=2　to　n+1)10＾k

下から上を引きます。
９Ａ＝10^(n+1)-10

これでＡはでますね。
等比数列の和の公式を使えばもっと簡単にできるのですが。

回答No.4

fushigichan

kami245さん、こんにちは。

＞7,77,777,7777,…
＞第k項akを求める方法がわかりません

第k項a[k]は、７がk個、ずらずら～～っと並んだ数字ですよね。

第１項・・・７
第２項・・・７７＝７０＋７＝７×１０＋７
第３項・・・７７７＝７００＋７０＋７＝７×１０＾２＋７×１０＋７

・・・のようになっているので、

第k項・・・７７７７・・・７７（７がk個）
　　　　　=7*10^(k-1)*7*10^(k-2)+・・+7*10^2+7*10+7

のようになっているはずですよね。
つまり、
a[k]=7+7*10+7*10^2+・・+7*10^(k-1)
これは、初項７、公比１０の等比数列のｋ個の和ですから、
a[k]=7{10^k-1}/(10-1)←等比数列の和の公式
　　=(7/9)*(10^k-1)

前半は、こうですよね。
さて、後半

＞Σ(k=1)ak=Σ(k=1)7/9・((10＾k)-1)
=7/81・(10＾(n+1)-9n-10)

ここのところは、a[n]のk番目の数字がa[k]だったので
それを、１番目、２番目・・・n番目まで足したいのですよね。

ですから
Σ[k=1 to n]a[k]=Σ[k=1 to n](7/9)*(10^k-1)
=Σ(7/9)*10^k -Σ(7/9)←このように、上の式を二つに分けましょう。
すると、最初のシグマは、初項(7/9)*10公比１０の等比数列のn項までの和、
２番目のシグマは、(7/9)をn個足したものになっていますね。

=(7/9)*{10^(n+1)-10}/(10-1) -(7/9)n←(7/81)で通分しましょう
=(7/81)*{{10^(n+1)-10}-9n}
=(7/81)*{10^(n+1)-9n-10}

のように変形できます。
落ち着いて、ゆっくり変形していってくださいね。
頑張ってください。

補足

詳しくありがとうございます。
最後の方でわからないところがあって
聞いてもいいですか？
＞Σ[k=1 to n]a[k]=Σ[k=1 to n](7/9)*(10^k-1)
=Σ(7/9)*10^k -Σ(7/9)←このように、上の式を二つに分けましょう。
についておしえてください

Σ[k=1 To n] 7/9(10＾k -1)
=7/9Σ10＾k -1
=7/9(Σ10＾k - Σ1)
=7/9(Σ10＾k -n)
まではとけたのですが

Σ10＾k の展開がわかりません

回答No.3

ymmasayan

No.1のymmasayanです。大事なところに誤字がありました。

＞一番上の式を左右１０倍して下の式を引いてみてください。

「一番上の式を左右１０倍して元の式を引いてみてください。」
すみませんでした。

補足

詳しくありがとうございます。
最後の方でわからないところがあって
聞いてもいいですか？
＞Σ[k=1 to n]a[k]=Σ[k=1 to n](7/9)*(10^k-1)
=Σ(7/9)*10^k -Σ(7/9)←このように、上の式を二つに分けましょう。
についておしえてください

Σ[k=1 To n] 7/9(10＾k -1)
=7/9Σ10＾k -1
=7/9(Σ10＾k - Σ1)
=7/9(Σ10＾k -n)
まではとけたのですが

Σ10＾k の展開がわかりません

回答No.2

noname#7693

初項7、公比10の等比数列を仮にbkとします。
よって7,77,777,7777,… は
初項７、公比10の等比数列の和となり
数列akは数列bkの初項から第ｋ項までの和となります。
あとは頑張って計算してみて下さい。

Σの前の7/9は前に出すことが出来るのでとりあえず
Σ(k=1)((10＾k)-1) を計算しましょう。
分解してしまえば
7/9〔Σ(k=1)(10＾k)－Σ1〕
になりますよね？

Σ(k=1)(10＾k)=10((10^k)-1)/10-1

あとは出来るはずです。頑張って下さい。
自分で計算しなければ力はつきません。

回答No.1

ymmasayan

＞ak=7+7・10+7・10＾2+…+7・10＾(k-1)
＞=7((10＾k)-1)/10-1
＞=7/9・((10＾k)-1)
＞がわかりません

一番上の式を左右１０倍して下の式を引いてみてください。

＞Σ(k=1)ak=Σ(k=1)7/9・((10＾k)-1)
＞=7/81・(10＾(n+1)-9n-10)
＞がわかりません。

これは(10＾k)と（-1) を分離して前の方は上と同じ１０倍のテクニックを使います。