次の問題が分からないので解答をお願いします。

質問

次の問題が分からないので解答をお願いします。

an=3n+2

(1)和 2^a1+2^a2+2^a3+・・・・+2^an
を求めよ。

(2)
2n
Σ(－1)^k ak^2
k=1

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

ああ、公式を間違えた。k が 1 から始まると、どうも勝手が違う。

初項 (2^2)(2^3), 公比 (2^3), 項数 n の等比数列の和
= (2^2)(2^3){ 1 - (2^3)^n }/{ 1 - (2^3) } = (32/7){ 8^n - 1 }.

回答No.6

info22_

#2,#4です。

A#4の(2)の続き

A#5の指摘どおり
>(-1)^(2n) = 1
なので

>上の最後の式を整理すると
>={(-1)^(2n)}{18(n^2)+21n+5}-5
=18(n^2)+21n
=3n(6n+7)
となります。

＃）#5さん指摘ありがとう。

回答No.5

alice_44

(-1)^(2n) = 1 に気づくと、尚よい。

回答No.4

info22_

#2です。

A#2の(2)の最後の行の括弧の種類が１つ間違っていましたので修正します。
誤：={(-1)^(2n)}*9n(2n+1)+3{4n{(-1)^(2n)}+{(-1)^(2n)}-1]+2[{(-1)^(2n)}-1]
正：={(-1)^(2n)}*9n(2n+1)+3[4n{(-1)^(2n)}+{(-1)^(2n)}-1]+2[{(-1)^(2n)}-1]

上の最後の式を整理すると
={(-1)^(2n)}{18(n^2)+21n+5}-5
となります。

回答No.2

info22_

(1)
a1=5,S1=2^5
a2=8,S2=2^5+2^8=2^5*(1+8)=32*(8^2-1)/(8-1)
a3=11,S3=2^5*(1+8+8^2)=32*(8^3-1)/(8-1)
a4=14,S4=2^5*(1+8+8^2+8^3)=32*(8^4-1)/(8-1)
...
an=3n+2,Sn=32*(8^n-1)/(8-1)=32(8^n-1)/7

(2)
Σ[k=1,2n] (-1)^k*(3k+2)^2
=Σ[k=1,2n] (-1)^k*(9k^2+12k+4)
=Σ[k=1,2n] (-1)^k*9k^2+Σ[k=1,2n] {(-1)^k}*12k+Σ[k=1,2n] {(-1)^k}*4
={(-1)^(2n)}*9n(2n+1)+3{4n{(-1)^(2n)}+{(-1)^(2n)}-1]+2[{(-1)^(2n)}-1]

回答No.1

alice_44

Σ[k=1…n] 2^ak = Σ[k=1…n] 2^(3k+2) = Σ[k=1…n] (2^2)(2^3)^k
初項 (2^2)(2^3), 公比 (2^3), 項数 n の等比数列の和。
公式通り、= (2^2)(2^3){ 1 - (2^3)^(n+1) }/{ 1 - (2^3)} = (32/7){ 8^(n+1) - 1 }.

Σ[k=1…2n] (-1)^k ak^2 = Σ[h=1…n] - { a(2h-1) }^2 + { a(2h) }^2
= Σ[h=1…n] - { 3(2h-1)+2 } ^2 + { 3(2h)+2 }^2 = Σ[h=1…n] { 36h+3 }
初項 36+3, 公差 36, 項数 n の等差数列の和。
公式通り、= n{ (36+3) + (36n+3) }/2 = 18n^2 + 21n.

お礼

ありがとうございます!!
おかげで助かりました。