∫[-∞～∞]e^{(-p^2x^2-qx)}dx=～の証明

質問

公式集に下のような公式をみつけました。
∫[-∞～∞]e^{(-p^2x^2-qx)}dx=e^(q^2/4p^2)√π/p
ですがこの公式がなぜ成り立つのかがわかりません。
証明がのっている本、サイト等を教えてください。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

変数変換で∫e^{-x^2}dxを求めれば答えが得られることが比較的簡単にわかります（e^{-(px+q/2p)^2+(q^2/4p^2)}と変形してpx+q/2p→yと置換する）。あとは∫e^{-x^2}dx=√πですが、

(∫e^{-x^2}dx)(∫e^{-x^2}dx)=(∫e^{-x^2}dx)(∫e^{-y^2}dy)
　=∬e^{-x^2-y^2}dxdy　重積分はR^2上
　=∬e^{-r^2}rdrdθ　ただしrは0～∞、θは0～2π
　=2π[1/2 e^{-r^2}]_0^{∞}
　=π

となるので、∫e^{-x^2}dx=√πです。変数変換x→rcosθ,y→rsinθを使いました。dxdy=rdrdθです。これは逐次積分、重積分の公式（Fubiniの定理）の演習問題として、ほとんどの微積分のテキストに載っていると思います。

お礼

遅くなってすいません。ありがとうございました。