3次方程式x^3+px^2+qx+r=0の判別式

質問

3次方程式
x^3+px^2+qx+r=0
の３つの解を α,β,γ とするとき，
D=(α-β)^2 (β-γ)^2 (γ-α)^2
を p,q,r を用いて表すと、
D=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2
となるらしいのですが、計算が複雑すぎて答えが合いません。どうやって導くのでしょうか?

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

計算は大変だけど、整理していけばなんとかなるでしょう。

α+β+γ=-p
αβ+βγ+γα=q
αβγ=-r

(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)=α^2β+αβ^2+β^2γ+βγ^2+γα^2+γ^2α+3αβγ
より
α^2β+αβ^2+β^2γ+βγ^2+γα^2+γ^2α=3r-pq

(α+β+γ)^3=α^3+β^3+γ^3+3(α^2β+β^2γ+γ^2α+αβ^2+βγ^2+γα^2)+6αβγ
より
α^3+β^3+γ^3=-p^3-3(3r-pq)+6r=3pq-p^3-3r

(αβ+βγ+γα)^3=α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3+3αβγ(α^2β+β^2γ+γ^2α+αβ^2+βγ^2+γα^2)+6(αβγ)^2
より
α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3=q^3+3r(3r-pq)-6r^2=q^3+3r^2-3pqr

D=(α-β)^2(β-γ)^2(γ-α)^2
={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
=(αβ^2+βγ^2+γα^2-α^2β-β^2γ-γ^2α)^2
=(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)^2-4(αβ^2+βγ^2+γα^2)(α^2β+β^2γ+γ^2α)
=(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)^2-4{α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3+αβγ(α^3+β^3+γ^3)+3(αβγ)^2}
=(3r-pq)^2-4{q^3+3r^2-3pqr-r(3pq-p^3-3r)+3r^2}
=p^2q^2-4p^3r+18pqr-4q^3-27r^2

お礼

ありがとうございます。

模範的な解法で参考になります。
友人は、対称式の次数で式の形を類推して、数値代入法で解いたと言っていました。

回答No.2

Ae610

終結式を利用する計算もあるかと・・・

a0・x^3+p・x^2+q・x+r=0
で
f(x)=a0・x^3+p・x^2+q・x+rとすれば
f'(x)=3・a0・x^2+2・p・x+q
でa0=1なので判別式Dは終結式をR(f,f')で表すことにすれば

D = (-1)^3・R(f,f')=－R(f,f')で求められる。
R(f,f')を行列式表示すると
｜1 p q r 0｜
｜0 1 p q r｜
｜3 2p q 0 0｜
｜0 3 2p q 0｜
｜0 0 3 2p q｜
・・・(5行5列)となるから行列式の基本変形によって行（または列）で展開するとかして計算出来そうな次数まで下げていけばよいと思う！

お礼

ありがとうございます

終結式の方法はNo1で紹介されたサイトに書いてありました。

回答No.1

spring135

２次の項を0にするように変換してから計算し元へ戻します。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomial/discriminant.htm

お礼

ありがとうございます。

２次の項を0にするように変換してから判別式を計算するのはいいとしても、
そこのサイトには「2次の項が0でない判別式に戻す」方法は書かれていないと思いますし、
また、元に戻す方法が賢明とはいえないと思うのですが。