複素数と方程式

質問

整式g(x)をx－1で割るとあまりは12であり、x^2＋2x＋1で割るとあまりはx－5である、(x－1)(x＋1)^2で割った時のあまりは？
という問題なのですが、ヒントください。お願いします。。。

回答No.3

springside · ベストアンサー

この手の問題は、以下のように剰余定理と微分と使うと、いろいろ考えなくても機械的に解けます。

g(x)を(x-1)(x+1)^2で割った余りは2次式なので、ax^2+bx+cとおく。また、商をp(x)とおく。すると、
　g(x)=(x-1)(x+1)^2p(x)+ax^2+bx+c・・・(1)
である。

g(x)をx-1で割った余りが12なので、剰余定理によりg(1)=12・・・(2)

g(x)をx^2+2x+1=(x+1)^2で割った商をq(x)とおくと、題意により、
　g(x)=(x+1)^2q(x)+(x-5)・・・(3)
なので、剰余定理によりg(-1)=-6・・・(4)

また、(3)の両辺をxで微分すると、
　g'(x)=2(x+1)q(x)+(x+1)^2q'(x)+1
なので、g'(-1)=1・・・(5)

さて、(1)の両辺をxで微分すると、
　g'(x)=(x+1)^2p(x)+2(x-1)(x+1)p(x)+(x-1)(x+1)^2p'(x)+2ax+b・・・(6)
である。

(1)と(2)により、g(1)=a+b+c=12
(1)と(4)により、g(-1)=a-b+c=-6
(6)と(5)により、g'(-1)=-2a+b=1

上記の連立方程式を解いて、a=?、b=?、c=?である。

補足

返信ありがとうございました、
微分は反則ですね・・・・苦笑
未習なので・・・・

回答No.5

rinri503

ｐｏｓｔｒｏさんで回答がでているようですがＯＫサインがでないようなので、まとめてみますと次
　Ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）Ａ（ｘ）＋１２・・・（１）
　Ｇ（ｘ）＝（ｘ＋１）＾２Ｂ（ｘ）＋ｘ－５　・（2)
　Ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋１）＾２Ｃ（ｘ）
　　　　　　　　　　＋ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ　・・（3）
ｘ＝１を代入して（1）（3）より
　　ａ＋ｂ＋ｃ＝１２　・・・（４）
ｘ＝－１を代入して　（２）（３）より
　　ａ－ｂ＋ｃ＝－６　・・・(5)
　ここで未知数が３コで２式しかないから、もう１つ式を考えると（２）式を考える
（３）式は、前は、割り切れる。余りは、
　ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝
　ａ（ｘ＋１）＾２＋（ｂ－２ａ）ｘ＋ｃ－ａとできるから係数比較して
　　　ｂ－２ａ＝１・・・(6)
　　　ｃ－ａ＝－５・・。(7)
　これを解くと、ａ＝４，ｂ＝９，ｃ＝－１とでる

お礼

返信ありがとうございました。
わかりましたありがとうございました。

回答No.4

postro

＞＞ax^2+bx+cをx^2＋2x＋1で割ると、商はaであまりがx－5になるはず
＞どういうことですか？

g(x)を(x^2＋2x＋1)で割るとx－5あまる。そこで
g(x)=(x－1)(x＋1)^2k(x)+ax^2+bx+c　を(x^2＋2x＋1)=(x＋1)^2で割ることを考えると、
(x－1)(x＋1)^2k(x)の部分は割り切れるからあまりはない。それならax^2+bx+c　を(x^2＋2x＋1)で割ったらx－5あまるはずです。
実際に割り算を実行すると、商がaで、あまりが(b-2a)x+c-aになりますね。
つまり(b-2a)x+c-a＝x－5　のはずです。すなわち
b-2a=1 , c-a=-5 とわかる。

回答No.2

postro

ヒント（ちょっと多すぎるかも）
g(x)=(x－1)f(x)+12
g(x)=(x^2＋2x＋1)h(x)+x－5
g(x)=(x－1)(x＋1)^2k(x)+ax^2+bx+c
g(1)=12
g(-1)=－6
ax^2+bx+cをx^2＋2x＋1で割ると、商はaであまりがx－5になるはず
複素数と関係ないけどいいのか？？？

補足

＞ax^2+bx+cをx^2＋2x＋1で割ると、商はaであまりがx－5になるはず
どういうことですか？

回答No.1

erara

ヒントでよろしいのなら…

まず当たり前ですが、
1、(x－1)(x＋1)^2は三次式なので余りはax^2＋bx＋cの形になります。
2、あとは剰余定理を使うだけです。