青学の問題

質問

ｘについての整式Pをｘ＾２＋４で割るとｘ－３あまり、ｘ＾２－２ｘ＋２で割るとｘ＋７あまるという。このときPをｘ＾２－２ｘ＋２で割ったあまりを求めよ。

この問題を考えているのですが、どうもこの手の問題が苦手です。
解くためのヒントをいただけませんか。

回答No.3

debut · ベストアンサー

Pをx^2+4で割ったときの商をQとし、Qをx^2-2x+2で割ったときの商をR
余りをax+bとすると、
P=(x^2+4)Q+x-3
=(x^2+4){(x^2-2x+2)R+ax+b}+x-3
=(x^2+4)(x^2-2x+2)R+(x^2+4)(ax+b)+x-3
=(x^2+4)(x^2-2x+2)R+ax^3+bx^2+(4a+1)x+4b-3
ここで、Pをx^2-2x+2でわると、(x^2+4)(x^2-2x+2)Rはx^2-2x+2で割り
切れるから(ax^3+bx^2+(4a+1)x+4b-3)÷(x^2-2x+2) の計算を実行すると
余りは (6a+2b+1)x-4a+2b-3
これが Pをx^2-2x+2で割ったときの商x+7に一致するから、
6a+2b+1=1
-4a+2b-3=7
というようにできます。

回答No.4

debut

No3です。
ちょっとした誤り。
回答の下から４行目、・・・で割ったときの商x+7に一致・・・
は　・・・で割ったときの「あまり」x+7に一致・・・　でした。
ごめんなさい。

回答No.2

freedom560

No.1さんが書いた答えが青学の問題で出るとは思えないのですが・・Pを（ｘ＾２＋４）（ｘ＾２－２ｘ＋２）で割った余りという問題の間違いではないですか？

このとき
P=(x^2+4)Q(x)+x-3=(x^2-2x+2)R(x)+x+7=(x^2+4)(x^2-2x+2)S(x)+ax^3+bx^2+cx+d
とかけます。

ax^3+bx^2+cx+dをx^2+4で割ってみましょう。
(ax+b)(x^2+4)+(-4a+c)x+(-4b+d)
となります。
これがｘ－３と等しくなるので
-4a+c=1・・(1)
-4b+d=-3・・(2)
となります。
同様にax^3+bx^2+cx+dをx^2-2x+2で割ってみましょう。その余りがｘ＋７と等しいので、(1)、(2)とともに連立方程式を解きましょう。

補足

質問に不備がありました。（申し訳ない）
このとき、以下がつぎのような質問に変更します。
このとき、Pをｘ＾２＋４で割った商をｘ＾２－２ｘ＋２で割ったあまりを求めよ。

答えはわかっています。
ーｘ＋３です。

a,bとも0になるはずですが、どうも出てきません。
計算方法が悪いのでしょうか。

回答No.1

BLUEPIXY

ｘ＋７
(問題に書いてある)