logの入った式のオーダー評価

質問

yをxの連続関数として、x>a上でy>0であり、さらに
-y*log(y) = x-a + o(|x-a|) as x↓a
であるとします。ただしaは正の定数でoはランダウのスモール・オウとします。yはx=a+で0であって、y(a)=0と決めておけば、右側微係数y'(a+)は0になります。たぶん。そこでy'(a)=0としておけば、右側二階微係数を考えることができますが、y''(a+)=∞となると思います。

したがって多項式と比べれば、
y(x)/(x-a) → 0 as x↓a
であって、
y(x)/(x-a)^2 → ∞ as x↓a
です。だからちょうどその間ぐらいのorderだと思うわけです。なんとなく、-((x-a)^2)*log(x-a)ぐらいかなあと思ったりするんですが、logと整数べきだけ使って、y(x)のx=aにおけるトップオーダーを評価するすべはありませんか？

回答No.1

31415926 · ベストアンサー

-y*log(y) = x-a + o(|x-a|) as x↓a ---(1)
より
-y*{log(x-a)/(x-a)} = {log(x-a)/log y}*(1+o(1)) --- (2)
となります．さて，(1)の両辺のlogをとると
log y + log(-log y) = log((x-a)+o(|x-a|)) ---(3)
ですが，x↓aのとき
(3)の左辺はlog yと同じorder
(3)の右辺はlog (x-a)と同じorderですので
{log(x-a)/log y}はx↓aのとき1に収束します．
よって(2)より
yのorderは-(x-a)/log(x-a)となります．

質問中にある-(x-a)^2*log(x-a)だと
y(x)=-(x-a)^2*log(x-a)といれたときに
最初の式がなりたたないので多分だめだと思います．

結局，y(x)は確かに(x-a)より小さいorder,
(x-a)^2より大きいorderなんだけど，
「(x-a)^2よりほんの少し大きいorder」である
-(x-a)^2*log(x-a) なのではなく
「(x-a)より少し小さいorder」である
-(x-a)/log(x-a)なのだということになりました．

どうでしょうか？

お礼

もやっと、が、すっきり！しました。ありがとうございます。