logの質問です。

質問

X、ｙについて2つの方程式
　log2ｙ=１＋log2X　……(1)
　2のｙ乗=K・2のｘ乗－4　……(2)　
がある。ただし、Kは実数の定数とする。
（1）X=４のとき、方程式(1)を満たすｙの値を求めよ。　
（2）K=5のとき、方程式(1)、(2)を同時に満たすｘ、ｙの値の組（ｘ,ｙ）を求めよ。
（3）方程式(1)、(2)を同時に満たすｘ,ｙの値の組（ｘ,ｙ）がちょうど２つあるようなKの値の範囲を求めよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞X、ｙについて2つの方程式
＞　log2ｙ=１＋log2X　……(1)
＞　2のｙ乗=K・2のｘ乗－4　……(2)　
＞がある。ただし、Kは実数の定数とする。
＞（1）X=４のとき、方程式(1)を満たすｙの値を求めよ。　
（１）よりlog[2]ｙ＝log[2]２＋log[2]４＝log[2]２×４＝log[2]８
よって、ｙ＝８
＞（2）K=5のとき、方程式(1)、(2)を同時に満たすｘ、ｙの値の組（ｘ,ｙ）を求めよ。
（１）より、log[2]ｙ＝log[2]２＋log[2]ｘ＝log[2]２ｘだから、
ｙ＝２ｘ，　これを（２）へ代入して、
２^(2x)＝５・２^x－４
（２^x）^2－５・２^x＋４＝０
２^x＝Ｘとおくと、Ｘ＞０
Ｘ^2－５ｘ＋４＝０
（Ｘ－４）（Ｘ－１）＝０より、Ｘ＝４，Ｘ＝１
２^x＝４＝２^2より、ｘ＝２，ｙ＝４
２^x＝１＝２^0より、ｘ＝０，ｙ＝０
よって、（ｘ，ｙ）＝（２，４）（０，０）
＞（3）方程式(1)、(2)を同時に満たすｘ,ｙの値の組（ｘ,ｙ）がちょうど２つあるような
＞Kの値の範囲を求めよ。
問題（２）のように（１）（２）から作った式を　Ｘ^2－ｋＸ＋４＝０（Ｘ＞０）とおく。
これが異なる２つの解をもつから、判別式Ｄ＝ｋ^2－４×１×４＝ｋ^2－１６＞０
（ｋ＋４）（ｋ－４）＞０より、ｋ＜－４，４＜ｋ　……（ア）
２つの解は正だから、それをＡ＞０，Ｂ＞０とおくと、解と係数の関係より、
Ａ＋Ｂ＝ｋ＞０　……（イ），ＡＢ＝４＞０
よって、（ア）（イ）の共通範囲は、ｋ＞４

になりましたが、どうでしょうか？

お礼

ありがとうございました>_<

回答No.1

asuncion

(1)式のlog2Xとかlog2Yとかの2は、対数の底を示しているのですか？