線形空間です。

質問

以下の問題について

a(t),b(t)をK係数多項式とし、これらをともに割り切る多項式は定数のみとする。
K係数多項式 x(t),y(t)で

a(t)x(t)+b(t)y(t)=1

を満たすものがあることを示せ。

考えたものを検証してもらいたいのですが、

a(t),b(t)が互いに素より、
与式は、

x(t)={1-b(t)y(t)}/a(t)
と変形できるので、
1-b(t)y(t)=q(t)a(t)と書けるようなy(t)を選ぶと
x(t)はy(t)に対して存在する。

ゆえにx(t),y(t)はぞんざいする。

という感じにしてみたのですがどうでしょう？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>1-b(t)y(t)=q(t)a(t)と書けるようなy(t)を選ぶと
さらっと書いてますけど、a(t),b(t)をどのように選んでも(互いに素であれば)、『必ず』仰るような条件を満たすy(t)を選べるんですか？
本当にそのようなy(t)が存在するかどうかは全く自明ではないと思いますが。むしろ、そのようなy(t)が存在することの証明が、この問題の一番大事な部分でしょう。

また、一般には割り算をすると、多項式ではなくなってしまうので、
>x(t)={1-b(t)y(t)}/a(t)
こういうのもよくないです。

お礼

確かにそうですね。
ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

本質的には, #1 で指摘されている通り「1 - b(t) y(t) = q(t) a(t) と書けるような y(t) を選ぶ」ことが, 与えられた条件下で必ずできることを証明しろって問題なので, この「証明」は何もいってません. はっきりいって 0点. というか, q(t) はどこから出てくるの?
で, どこまで証明で使えるかわからないんだけど普通は #2 のように「Euclid の互除法で a(t), b(t) の最大公約数が 1 であることを示しておいて, そこから逆順に計算をたどって a(t) x(t) + b(t) y(t) = 1 であるような x(t), y(t) が存在することを示す」かなぁ. この辺の流れは整数のときに「a と b が互いに素なら ax + by = 1 となる整数 x, y が存在する」ことの証明と同じ.

お礼

a,bの最大公約数がd。
このとき
ax+byの形で表される最小の整数はｄである。

の証明と同じ手順で解決できました！
ありがとうございます。

回答No.2

ojisan7

eatern27さんのおっしゃる通り、その証明では、証明したことになりませんね。a(t)x(t)+b(t)y(t)=1を満たす、x(t),y(t)の存在を示すには、普通は、ユーグリッドの互除法を使います。