行列Mの最小多項式pの存在証明

質問

こんにちは皆様いかがお過ごしでしょうか?

[問]与えられた行列Mが最小多項式pの解であるようなpの存在を示せ。
に難儀しております。どうぞご教示ください。

因みに最小多項式とは正方行列Aに対してf(A)=Oとなる多項式f(x)の内で次数が最低
で最高次の係数が1であるものをAの最小多項式といい,m_A(x)で表す。
です。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

n×n 実行列 M に対して，
　I, M, M^2, ..., M^m
を考えます．
n×n 行列を n^2 次元ベクトルと見れば，n^2 次元線型空間に
線型独立なベクトルは高々 n^2 本しか存在しません．
従って，この行列たちは十分大きな m に対して線型従属です．

この行列たちが線型従属となる最小の m を取ります．
このとき，ある実数 a_0, ..., a_m が存在して
　a_0 I + a_1 M + ... + a_m M^m = 0
が成立します．m の最小性から a_m ≠ 0 が成立するため，
　p(X) = a_0/a_m + a_1/a_m X + ... + X^m
は p(M) = 0 を満たします．m の最小性から，これよりも
小さな次数の多項式で q(M) = 0 なるものは存在しません．
よって，p が M の最小多項式です．

お礼

有難うございます。意味が分かってきました。
I,M,M^2,…、夫々をn^2×1の行列(縦ベクトル)と見立てると確かにn^2+1以上で一次
独立では出来ませんね。必然的に一次従属となってしまいますね。
それで最小多項式なるものが存在するのですね。

理解できました。

回答No.2

noname#221368

#1さんのようにやらないと、点数がもらえないような気はします。また、ケーリー・ハミルトンの定理への途上なのかもしれないとは思いましたが、周辺情報として言えば、ケーリー・ハミルトンから、最小多項式の存在は自明になると思えます。
　ｎ次正方行列の特性多項式を、φ(λ)（ｎ次のスカラー多項式）とした場合、スカラーλを形式的にＡでおきかえた行列多項式、φ(Ａ)については常に、

　　φ(Ａ)＝0（行列として0）

となるので、m_A(x)の存在は、ｎ次以下で保証されます。

お礼

有難うございます。意味が分かってきました。
I,M,M^2,…、夫々をn^2×1の行列(縦ベクトル)と見立てると確かにn^2+1以上で一次
独立では出来ませんね。必然的に一次従属となってしまいますね。
それで最小多項式なるものが存在するのですね。

理解できました。