高二・指数関数で

質問

とある問題を解こうとして、さっぱり分からなかったので解答を見ました。
しかし、それもきちんと理解できていません。(1)はどうにか分かったと思うのですが、(2)はさっぱりです。

(1)について、私の説明であっているかどうか教えて下さい。間違っていましたら、訂正お願いします。
(2)については、補足説明をお願いします。
式など間違っているかも知れません。その場合はご指摘お願いします。

問：0<a<bのとき、次のそれぞれを証明せよ。

(1)x>0ならばa＾x<b＾x

問題集の解答:
条件より、a^x>0 b^x>0 0<a/b<1
よって、x>0のとき、a^x/b^x=(a/b)^x<1
したがって、a^x<b^x

説明：
問題文より0<a<bであるから、a,bをx乗した場合も０より大きい。よって、a^x>0 b^x>0
また、bが分母に来た場合、a<bであるから、１より小さくなる。よって、0<a/b<1
そのx乗は、１より小さい数を累乗した場合どんどん小さくなるので、１より小さくなる。
ということは、分母（b^x）が分子（a^x）より大きいから、a^x<b^x

(2)(a^b)(b^a)<(a^a)(b^b)

問題集の解答:
(a^b)(b^a)/(a^a)(b^b)={a^(b-a)}/{b^(b-a)}=(a/b)^(b-a)
0<a/b<1、b-a>0であるから、(a/b)^(b-a)<1
よって、(a^b)(b^a)/(a^a)(b^b)<1
また、(a^a)(b^b)>0であるから、(a^b)(b^a)<(a^a)(b^b)

馬鹿な頭ですみません。よろしくお願いします。

回答No.1

marth · ベストアンサー

(1)はご理解の通りで問題ないと思います。

(2)ですが、まず、定義として、次のことを抑えておく必要があります。

1. x≠0, a>0のとき
　　　x^(-a) = 1/(x^a)
2. x≠0のとき
　　　(x^a)^b = x^(a×b)

これは、かけ算 x^a × x^b = x^(a+b) を指数が負の時にも成立させるためにこのように定義しています。

では、問題集の解説を見てみましょう
１行目
> (a^b)(b^a)/(a^a)(b^b)={a^(b-a)}/{b^(b-a)}=(a/b)^(b-a)
まず、一つめの等式ですが、
　　(b^a) = 1/{(b^a)^-1} = 1/{b^(-a)}
を使うと、左の等号が成立します。右の等号は分かりますよね。

２～３行目
> 0<a/b<1、b-a>0であるから、(a/b)^(b-a)<1
> よって、(a^b)(b^a)/(a^a)(b^b)<1
ここは(1)と同じ理屈ですので、割愛します。

４行目
> また、(a^a)(b^b)>0であるから、(a^b)(b^a)<(a^a)(b^b)
ポイントは、３行目の分数が１より小さいからと言って、分子＜分母とはならないと言うことです。
それは、分子、分母がともに負の場合は、（分母を掛けると、負の数を掛けているため、大小が反転し）「分子＞分母（＝１×分母）」となってしまうからです。
したがって、分母が正の数であることを説明しないといけません。
あとは、(1)と同じです。

お礼

お礼が遅くなってごめんなさい。
回答ありがとうございました。
詳しく教えて下さって、本当にわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

yumisamisiidesu

(2)のproof

　(a^b)(b^a)<(a^a)(b^b)
⇔(a^b)/(b^b)<(a^a)/(b^a)
⇔(a/b)^b<(a/b)^a
　題意より a/b<1なので
　( 0<底<1 ⇒ 指数関数は単調減少なので )
　a<b ⇒ (a/b)^b<(a/b)^a
　が成り立ちます

それで、もしよければわたしの質問の「指数関数論」、「数学の体系」
も寄ってください．
指数関数が複素数まで拡張されます．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1280086
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1300140

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1300140,http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1280086

お礼

お礼が遅れてすみません。
回答ありがとうございました。
参考ＵＲＬ、飛んでみます。
ありがとうございました。