指数関数のテイラー展開

質問

テイラー展開の証明で、ロールの定理を使いますが、
「g(a)=g(b)となる〔a.b〕にg'(c)=0になるcが存在する。」という仮定をしてしまったら、f(x)=exp(x)の場合、a=b=cとなり、この証明は使えないと思うのですが、私はどこかまちがっていますか？他に証明方法（大学教養課程程度に理解可能な）があるのでしょうか？

回答No.2

proto

f(x)=exp(x)
を直接使うんじゃなくて
F(x)=f(x)-{(f(b)-f(a))/(b-a)}*(x-a)-f(a)
とおけば
f(a)=f(b)=0を満たして
結果として平均値の定理を証明できます

たしかテイラーの定理を証明するときにも
関数を直接使うんじゃなくて
ごちゃごちゃした式の中で使うので、それと同じ事です

お礼

回答ありがとうございました。
しかし、私の言いたいことは、
f(a)=f(b)=0を満たしてb-a≠0(proto様の式の分母にあります。)という式から証明する場合、f(x)=exp(x)にはこの定理を使うには証明不足ではないかということです。b=aの時の証明が必要ではないかということです。
osamuy様に教えていただいたURLにもやはり、別の証明が必要であるとあり、現在、検討中です。

回答No.1

osamuy

テイラー展開で使われているのは、平均値の定理では。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/テイラーの定理,http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

補足

教えていただいたＵＲＬを追ってみました。参考になりました。
　平均値の定理の証明にやはりロール（ロル）の定理がでてきましたが、「但し、c = a 又は c = b となってしまう場合は、-f を考える。」とありました。この辺から、もう少し、自分で考えて見ます。わからなくなったらまた、質問させてください。