整数の性質

質問

nは自然数として、
２^nは２＝３－１なので３で割ったときにｎが奇数なら２あまり偶数なら１あまる。
４^nは４＝３＋１なので３で割ったとき１あまる。
どういう原理なのでしょうか？また、もっと一般化したらどういう風になるのでしょうか？

回答No.1

marth · ベストアンサー

式をこのように展開します。

2^n = (3-1)^n = 3k + (-1)^n

4^n = (3+1)^n = 3l + 1

さて、おわかりになりましたでしょうか。

お礼

＞2^n = (3-1)^n = 3k + (-1)^n

　4^n = (3+1)^n = 3l + 1
この式とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.5

yoikagari

takus69さんも書かれていますが二項定理(a+b)^n=ΣnCk(a^k){b^(n-k)}を用います

「4^nを3で割ると1余る」
これを一般化すると(a+1)^nをaで割ると1余ることとなります。
証明は(a+1)^n=ΣnCk(a^k)+1=a×(ΣnCk{a^(k-1)})+1=a×(整数)+1
と計算できます。

「2^nを3で割るとnが奇数なら2あまり偶数なら1あまる」
これを一般化すると(a-1)^nをaで割るとnが奇数ならa-1あまり偶数なら1余るとなります。

証明は
nが偶数のとき、(a-1)^n=ΣnCk(a^k)×{(-1)^(n-k)}+(-1)^n=a×(ΣnCk{a^(k-1)}×{(-1)^(n-k)})+1=a×(整数)+1
nが奇数のとき、(a-1)^n=ΣnCk(a^k)×{(-1)^(n-k)}+(-1)^n=a×(ΣnCk{a^(k-1)}×{(-1)^(n-k)})-1=a×(ΣnCk{a^(k-1)}×{(-1)^(n-k)}-1)+a-1
と計算できます。

回答No.4

yumisamisiidesu

modの関係の公式もあったと思いましたが
忘れてしまいました (^^;)

　a≡b(mod c) :⇔ a-b|c

回答No.3

takus69

下の回答でわかるようなら問題ないのですが、わからない時のため補足です。
2^n=(3-1)^nを展開すると、3がかけられない項を考えましょう。すると-1をn回かけたものだけが3がかからない項となります。3がかかっている項は、3で割りきれるので余りは、(-1)^nとなります。nが偶数なら(-1)^n=1、nが奇数なら(-1)^n=-1、余りが-1と言う事は3-1=2となります。
4^n=(3+1)^nも同じように解けますが、-1の部分が+1となっていますので、nによらず余りは1となります。

一般化したら二項定理、(a+b)^n=ΣnCk(a^k){b^(n-k)}と展開し、余りとなる部分はa=3とすると、k=0のものだけです。
余り=b^nで、今までの説明と同じになりますね。

回答No.2

musubime

何かを３で割ると余りは０か１か２ですよね．
すればどんな数 x も　3p or 3p+1 or 3p+2
に分類されます．でも 3p+2 てのは３で割ると
２余るってことで，これは３で割ると１足りない
と同じです．つまり 3p-1 ですね．
てことでどんな数 x も 3p or 3p+1 or 3p-1 に
分類されました．さてこれらを n 乗してみましょう．
x=3p の場合，何乗しようが３の倍数になりますよね．
x=3p+1 だと，何乗かすると 3q + 1 となるのは
きっと分かると思います（２項定理を参照）．
さて x = 3p-1 の場合， x^n=3q+(-1)^n ですから
n が偶数なら x^n=3q+1,
n が奇数なら x^n=3q-1 になります．
ということで，もう一般の場合は分かりますよね．
具体的に５，６，７とかでやってみて下さい．