整数問題？

質問

１０進法で表された数の奇数位の和と偶数位の和との差が１１で割り切れるとき、もとの整数は１１で割り切れることを示すことはできますか？？どうか教えてください。

回答No.4

pyon1956 · ベストアンサー

(11-1)^nを二項定理で展開したとき、
最後の項以外は11の倍数になりますから、
(11-1)^n=11A+(-1)^nとあらわせます。（Aは整数）
するとたとえばABCDと十進法で表される数は、
A*10^3+B*10^2+C*10+D=A*(11-1)^3+B*(11-1)^2+C*(11-1)+D
=A*(P*11-1)+B*(Q*11+1)+C*(11-1)+D
=(A*P+B*Q+C)*11+(-A+B-C+D)
となり、(-A+B-C+D)が11の倍数ならこれは11の倍数になります。ところが、この(-A+B-C+D)は「奇数位の和と偶数位の和との差」です。よって証明されました。

回答No.3

FUURINKAASAN

こんなのが参考になります。

割り切れ辞典
http://www2s.biglobe.ne.jp/~kato-mnk/kosuke/warikire1.htm

参考URL：

http://www2s.biglobe.ne.jp/~kato-mnk/kosuke/warikire1.htm

回答No.2

tatsumi01

No. 1 ですが、ミスがありました。
３行目の "B+D+E" （２箇所）は "B+D+F" の誤りです。
ついでに補足。
((A+C+E)-(B+D+F)) がマイナスになることもありますが、この証明？は正負にかかわらず成立します。

回答No.1

tatsumi01

一般式で書いてもいいのですが、わかりやすく６桁の数 "FEDCBA" を考えます（A-F は１桁の整数）。
A+10B+100C+1000D+10000E+100000F = (A+100C+10000E) + 10(B+100D+10000F)
A+100C+10000E = A+C+E + (99C+9999E) = 99X + (A+C+E)
10(B+100D+10000F) = 10(99Y + (B+D+E)) = 990Y + 10(B+D+E)
10(B+D+F) = 11(B+D+F) - (B+D+F)
結局、元の数 "FEDCBA" は
11Z + ((A+C+E)-(B+D+F))
ですから、括弧の中が 11 で割り切れれば割り切れます。
これ、11で割り切れることの簡単なチェック方法として一部では有名です。