積分計算

質問

∫(x^3-a*x^2+b*x)^(1/2)dxの解き方を教えてください！

回答No.1

grothendieck

∫(x^3-a*x^2+b*x)^(1/2)dx
　=∫{(x^3-a*x^2+b*x)/√(x^3-a*x^2+b*x)} dx
と書けるのでφ(x)をxの３次式としたとき
　I[m]= ∫{x^m/√φ(x)}dx
が求まれば良いことになります。φ(x)=x^3-ax^2+bx+c としたとき、漸化式
　(2m+3) I[m+2]+(2m+2)(-a) I[m+1]+(2m+1)b I[m]+2mcI[m-1]
　=2x^m√φ(x)
よりI[3]以上はI[2],I[1],I[0]に帰着されます。x=t+a/3 とおくと、
x^3-a*x^2+b*x = t^3 + tの１次式
の形になるのでI[1],I[0]が必要ですが、このうちI[1]は適当な変換により2次無理関数の積分になり計算できますが、I[0]は第１種楕円積分になり、一般に初等関数では表わされません。詳しいことは楕円関数の本を見て頂きたいと思います。