積分が解けません。

質問

∫√(a^2-x^2)*log( ( b + √(a^2-x^2) )^2+x^2)dx
-a≦ｘ≦a

解けるのでしょうか。宜しくお願いします。

回答No.1

stomachman

|a|≦xの範囲で考えろということらしいんで、x = a*sin[θ] (|θ|≦π/2)とおいて√(a^2-x^2) をa*cos[θ]に置き換えると
∫a*cos[θ]*log[(b+a*cos[θ] )^2+(a*sin[θ])^2]*(dx/dθ) dθ
= (a^2) ∫(cos[θ])^2*log[b^2 + 2*a*b*cos[θ]+a^2] dθ
=((a^2)/8)*(
-((a^4 + b^4)*θ)/(a^2*b^2)
+ (2*i)*θ^2
- (i*a^2*log[b + a*cos[θ] + i*a*sin[θ]])/b^2
+ (i*b^2*log[b + a*cos[θ] + i*a*sin[θ]])/a^2
- 4*θ*log[(b + a*cos[θ] + i*a*sin[θ])/b]
+ (i*a^2*log[a + b*cos[θ] + i*b*sin[θ]])/b^2
- (i*b^2*log[a + b*cos[θ] + i*b*sin[θ]])/a^2
- 4*θ*log[(a + b*cos[θ] + i*b*sin[θ])/a]
+ (4*i)*Li[2, -((a*(cos[θ] + i*sin[θ]))/b)]
+ (4*i)*Li[2, -((b*(cos[θ] + i*sin[θ]))/a)]
+ (2*(a^2 + b^2)*sin[θ])/(a*b)
+ 4*log[a^2 + b^2 + 2*a*b*cos[θ]]*(θ + cos[θ]*sin[θ])
- sin[2*θ]
) + C
Liは多重対数関数(polylogarithm)です。あ、いや、数式処理ソフトに放り込んでみただけなんで、違ってたらオレのせいじゃないってば。

お礼

ありがとうございました。