命題

質問

条件pに合致する集合Pが，条件qに合致する集合Qに含まれている，すなわちP⊂Qならば「pならばq」ですが，このときP⊂Qを成り立たなくすれば、否定したことになるのでしょうか？

回答No.3

quantum2000 · ベストアンサー

No.２さんが述べているように、
　　「Ｐ⊂Ｑ」ということと「ｐならばｑ」ということは、同値（同じこと）
ですから、
　　「Ｐ⊂Ｑ」ならば、「ｐならばｑ」
ですし、
　　「ｐならばｑ」ならば「Ｐ⊂Ｑ」
です。ですから、
　　「Ｐ⊂Ｑ」を否定する
ことは、
　　「ｐならばｑ」を“否定”する
ことと同じです。

なお、
　　「Ｐ⊂Ｑ」を否定する
とは、
　　集合Ｐの元の中に、集合Ｑの元になっていないものが（少なくとも１つは）ある。
ということであり、
　　「ｐならばｑ」を“否定”する
とは、この場合、
　　条件ｐが成り立っているのにもかかわらず、条件ｑが成り立っていない場合が
　　（少なくとも１つは）ある。
ということです。

蛇足ながら、条件ｐ，ｑに対して、「ｐならばｑ」というのが命題で、その内容は「条件ｐが成り立つときは、いつでも必ず、条件ｑが成り立つ。」という主張です。
そして、１つの命題に対して、その命題の「逆」、「裏」、「対偶」と呼ばれる命題があり、また、命題はすべて、「真」か「偽」のどちらかになります。

それに対して、「否定」というのは、「１つの条件ｐ」の「否定」ということあって、その内容は「ｐでない」というもので、これも１つの条件になります。そして、これには「真」とか「偽」というものはありません。
また、「命題の否定」というものもありません。それを言うなら、「ある命題が偽である。」ということです。

今回のご質問で言えば、「ｐならばｑ」というのは（条件ｐやｑについての）命題であり、「Ｐ⊂Ｑ」というのは（条件ｐやｑなどから成る集合についての）条件です。
「Ｐ⊂Ｑ」（という条件）の「否定」は、「ｐならばｑ」（という命題）が「偽」である、ということを表している、という訳です。

このように、厳密なことを言うと、「否定」と「偽」というのは、元々は意味合いが違うのです。ただし、今回のご質問のように、考える次元が違う場合に同じ意味合いになることもある、ということです。

蛇足が長々となり済みません。

お礼

とてもよくわかりました、貴方はものすごく、教えるのが上手です。感謝感謝！！

回答No.2

tenro

正確に書くと次のようになります。
Uを全体集合とします。P,Qは命題関数p(x),q(x)の真理集合で
　P = { x∈U | p(x)=真 }
　Q = { x∈U | q(x)=真 }
により定義されます。このとき、p(x)→q(x)の真理集合は
　Pbar ∪ Q
となります（但し、PbarはPの補集合）。

ご質問に書かれていることは、次のように言いかえることが出来ます（⇔は両辺が必要十分条件であることを表すとします）。
　"∀x∈U : p(x)→q(x)" ⇔ Pbar ∪ Q = U ⇔ P⊂ Q
このとき、￢を否定として
　￢(P⊂Q) ⇔ ￢(∀x∈U : p(x)→q(x)) ⇔ ∃x∈U :￢(p(x)→q(x))
となります。

つまり、P⊂Qが成り立たないことと、p(x)→q(x)でないxが存在することが同値になります。もちろん、これは"全てのxについてp(x)→q(x)でない"ということではありません。

補足

返信していただいたのはありがたいのですが、見たことのない数式がたくさんあって、よくわかりません・・・・すいません

回答No.1

quantum2000

ご質問の中に、
　　「このときP⊂Qを成り立たなくすれば、否定したことになるのでしょうか？」
とありますが、この「否定」というのは、どのようなことを言っているのでしょうか？

命題論理における「否定」というのは普通、１つの「条件」に対して、「その「条件」が成り立たない」という新たな「条件」を指すと思いますが、今回の質問の場合、もしただ単に「「ｐならばｑ」が、常に成り立つとは限らない。」とか「「ｐならばｑ」という命題が、偽である。」という意味で「否定したことになる。」というのであれば、それはもちろん「Ｐ⊂Ｑ」が成り立たなければ、「否定したことに」なると思いますが・・・。

補足

「その「条件」が成り立たない」という新たな「条件」＝否定でないのですか？