集合と命題

質問

P→Q(バー)が矛盾するので、P→Qを集合で考えてみると、こんな疑問が生まれてきました。
P→Qを証明するのに、P→Q(バー)が矛盾していることを証明しているだけで、なぜ用が済むのでしょうか？
PであるがQ出ないものがあるときのとこを考慮しなくていいのでしょうか？

P→Q(バー)⇔P⊂Q(バー)より
矛盾しているので、PであるがQ(バー)でないものがある。つまり、PであるがQでないものがある、またはP⊂Qである。
になりませんか？？
＞PであるがQ(バー)でないものがある。
この文だけ見たら、PであるがQでないものがあるは考慮する必要はないと、なんとなくわかるんですけど・・・
P→Q(バー)が矛盾しているということは、Pであるが、Q(バー)であるものもある、がないとなぜいえるのでしょううか？

Ps 私はまだまだ、未熟者なので、あまりかたい言葉を使わないで説明していただけないでしょうか？

回答No.7

kansai_daisuki

>(b)
>⇔αβ＞１
>⇔（くずしようがありません。）
>(正確には、くずせるかもしれませんが、くずす気力も>わきません。かなり大雑把な範囲になります。)

すみません。カンタンです。グラフで描くと単なる双曲線を境界線とした不等式です。
お粗末な回答ですみませんでした。

回答No.6

quantum2000

質問者のbenefactor_geniuさんは、教えてgooのどこかほかの質問を見て質問されているのか良くは判りませんが、No.２さんも書かれているように、ご質問の内容は背理法の証明方法のことだと思います。

No.４さんと同じような内容になりますが、別の仕方で説明すると、
（１） まず、命題「Ｐ→Ｑ」の意味ですが、これは、
　　　Ｐであるものは、いつでも必ず、Ｑでもある。
という主張です。
これを集合で表現すると、
　　　Ｐ⊂Ｑ
　　（Ｐに所属する元は、すべてＱにも所属する。）
ということになります。

（２） 「Ｐ→Ｑ」を背理法で証明するというのは、
　　　もし「Ｐであるにもかかわらず、Ｑでないものが（１つでも）ある。」　・・・（Ａ）
としたら、それから何らかの矛盾が導かれることを示して、
　　　だからそういうもの（Ａ）は存在しない。
　　　つまり「Ｐであるものは、いつでも必ず、Ｑでもある。」
というふうにして、「Ｐ→Ｑ」を証明する方法だと思います。

（３） 上のことを集合で表現すると・・・
　　　「Ｐ⊂Ｑ」を背理法で証明するというのは、
　　　もし、「Ｐ⊂Ｑ」でない
　　　　　　（Ｐであるにもかかわらず、Ｑでないものが（１つでも）ある。）　・・・（Ａ）
としたら、それから矛盾が導かれることを示して、
　　　だからそうしたもの（Ａ）は存在しない。
　　　すると、「Ｐ⊂Ｑ」でない、ではない。
　　　つまり、「Ｐ⊂Ｑ」である。
　　　　　　（Ｐであるものは、すべて必ず、Ｑでもある。）
として、「Ｐ⊂Ｑ」を証明する方法だと思います。

（４） そして、benefactor_geniuさんがご質問の「Ｐ→￢Ｑ」という命題は、
　　　Ｐであるならば、いつでも必ず、Ｑではない。
つまり、集合で表せば、
　　　Ｐに所属する元は、すべて必ず、Ｑには所属しない。　・・・（Ｂ）
という意味なわけです。

（４） ここで、（Ａ）と（Ｂ）は違いますよね。
背理法による証明というのは、（Ａ）を使うのであり、（Ｂ）を使うのではない訳です。
ですから、benefactor_geniuさんのご質問の内容は心配しなくてよい、ということだと思います。

（５） 蛇足ながら、No.２さんや４さんの回答に絡んで付け加えると、
１．「Ｐでない。」でない、ということは
　　「Ｐである。」、ということと同じです。
　　（記号で表せば、￢（￢Ｐ）⇔ Ｐ ということ。）

２．「ＰかつＱ」でない、ということは、
　　「Ｐでない」または「Ｑでない」、ということと同じことです。
　　（記号で表せば、￢（Ｐ∧Ｑ）⇔ （￢Ｐ）∨（￢Ｑ）ということ。）

３．「ＰまたはＱ」でない、ということは、
　　「Ｐでない」かつ「Ｑでない」、ということと同じことです。
　　（記号で表せば、￢（Ｐ∨Ｑ）⇔ （￢Ｐ）∧（￢Ｑ）ということ。）

４．「Ｐ→Ｑ」は、　
　　　Ｐならば、いつでも必ず、Ｑである。
ということですが、
　　　すべてのＰについて、Ｑである。
とも表現できます。そしてこれは、
　　　（￢Ｐ）∨Ｑ
　　（（すべての場合について、）Ｐでないか、または、（Ｐであれば）Ｑである。）
とも表現できます。

５．￢（Ｐ→Ｑ）は、
　　　「Ｐであれば、いつでも必ず、Ｑである。」ではない。
ということで、
　　　「すべてのＰについて、Ｑである。」ではない。
ということだから、言い換えると、
　　　　Ｐであるが、Ｑでないものが（少なくとも１つは）ある。
と言える訳です。これは、
　　　　あるＰがあって、Ｑでない（となっている）。
ともよく書かれます。
そしてこれは、
　　　　Ｐ∧（￢Ｑ）
　　　　（Ｐであり、かつ、Ｑでない（場合がある）。）
ということになります。

６．背理法についての質問で、「教えてgoo」の３月４日付けの質問欄に載ったばかりのものがありますので、ご参考に下のＵＲＬをどうぞ。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1249479

回答No.5

noname#24477

No４の方と同じになるかと思いますが
質問の　P→Q(バー)が矛盾　　は正確ではありません。
集合で→という記号を使ったので誤解しやすいのでしょう。

集合で言うと
Ｐの要素ｘでＱバーに含まれるものは「１つも」存在しない
ことをしめすことです。
（つまりすべてＱに含まれる）

例　ａは整数とする。
ａ＾２が偶数ならばａは偶数である。

これを証明するのに、ａは整数と断ってあるので
（ａは奇数）がありうる、として矛盾がいえれば
ａは偶数が証明されます。
ここでａが整数であることが保証されなければ、
√２などという第３の状態が有り得ますので証明は
完成しません。
あなたの心配はここにあるのではないでしょうか。
ｑと￢ｑの２者択一の状態にすることです。

一般に
ｐ→ｑの証明と同等なのはその「対偶」である
（￢ｑ）→（￢ｐ）
を示すことです。

回答No.4

shkwta

No.2補足への回答です。

＞　￢(P→￢Q)⇔P→Q
これはまちがいです。正しくは

￢(P→￢Q)⇔P∧Q
です。
証明は
￢(P→￢Q)
⇔￢((￢P)∨(￢Q))
⇔P∧Q

＞　(P∧(￢Q)とは、なんですか？(どのようなじょうたいですか？)
∧記号は、「かつ」(and)を示します。∧の両側の命題がともに成立していることを示します。
(P∧(￢Q))とは、Pが真であり、かつQが偽であることを示します。

＞なぜ同値にならないのですか？
証明に書きましたが、￢(P→￢Q)　や　(P→(￢Q))→O　は　P∧Q と同値です。
(P∧Q)と(P→Q)は同値ではありません。(P∧Q)は、PとQの両方が真であることを主張します。一方、(P→Q)はPとQが真であるとか偽であるとかは主張していません。ただ、Pが真であるときはかならずQが真になると主張しているだけです。Pが偽のときは、Qは真でも偽でもかまいません。

＞なぜ→が∧や∨にかわるんですか？
(P→Q)は、Pが真であるときはかならずQが真になると主張しますので、
Pが真でQが真
Pが偽でQが真
Pが偽でQが偽
の３つの場合を含みます。「Pが真でQが偽」だけがあり得ません。

一方、(￢P)∨Q について調べます。これは、Pが偽であるか、またはQが真であると主張します。したがって、
Pが真でQが真
Pが偽でQが真
Pが偽でQが偽
の３つの場合を含みます。「Pが真でQが偽」だけがあり得ません。

このように、(P→Q)と　(￢P)∨Q　は同じであり、つまり同値です。よって、(P→Q)は(￢P)∨Qに置き換えられます。No.2の証明ではこれを使っています。

No.3補足への回答です。

＞なぜ、Pが偽であってはならないんですか？
(P∧Q)は、
Pが真でQが真
の場合だけを含みます。

(P→Q)は、
Pが真でQが真
Pが偽でQが真
Pが偽でQが偽
の３つの場合を含みます。したがって、(P∧Q)は(P→Q)に含まれますが、(P∧Q)では、(P→Q)とちがって、Pが偽であってはならないのです。

お礼

返信ありがとうございました。
まだ、詳しくよんでいないんですが、
こんなに長くにわたってありがとうございました。
本当に恐縮です。

回答No.3

calypso1978

わたしも素人なので自信は無いのですが，
『￢Qではない』ということは，つまりQであるということではないでしょうか？そうすると，
＞Pであるが￢Qでないものがある。
はPであってQであるということになると思うんです．

集合で考えると￢QはQの補集合で，Qの補集合の補集合は，つまりQではないですかね？

補足

Pであって、Qであるものがあるではないのですか？
また、♯１さんに補足なんですけど(すいませんここで
なぜ、Pが偽であってはならないんですか？
やはり、∧∨の考え方と、命題の考え方の関係がいまいちわかりません、教えてください、よろしくお願いします。

回答No.2

shkwta

かなり混乱されているので、ゆっくり書きます。
これはたぶん背理法の説明を書こうとされていると思います。

(P→Q)を証明するのに、(P∧(￢Q))から矛盾を導くのが背理法です。ここで、∧は「かつ」(and)を表わす記号です。「または」(or)は∨と書きます。
Pと(￢Q)の両方を仮定して矛盾が起こることを示すと、(P→Q)を証明したことになります。これを式で書けば、

((P∧(￢Q))→O)⇔(P→Q)

ここで、Oは偽なる命題（つまり矛盾）です。Oの代わりに、仮定に反する命題、(￢P)、あるいはQでもかまいません。
上の式の証明は、
((P∧(￢Q))→O)
⇔(￢(P∧(￢Q))∨O
⇔((￢P)∨Q∨O
⇔(P→Q)

ここで、(￢￢A)⇔A、(￢(A∧B))⇔((￢A)∨(￢B))、A∨O⇔A の公式を使っています。

さて、ご質問のように「P→Q(バー)が矛盾していることを証明」したらどうなるでしょう？
(P→(￢Q))→O
⇔((￢P)∨(￢Q))→O
⇔￢((￢P)∨(￢Q))∨O
⇔P∧Q

つまり、「P→Q(バー)が矛盾していることを証明」するというのは、PとQをそれぞれ別々に証明するというのと同じことです。これはP→Qと同値ではなく、P→Qより厳しい条件(Pが偽であってはならない）になります。
『P→Q(バー)が矛盾しているということは、Pであり、かつQである』ということです。

No.1の補足について

＞P→￢Qが矛盾してるということは、￢(P→￢Q)ということですか？
その通りです。

＞もしそうなら、￢(P→￢Q)⇔￢P→Q,ですか？
上に書いたように、
￢(P→￢Q)⇔P∧Q
です。

補足

すいません間違えました。
￢(P→￢Q)⇔P→Q,ですか？

それと、∧∨の考え方がわかりません。
(P∧(￢Q)とは、なんですか？(どのようなじょうたいですか？)

＞(P→(￢Q))→O
⇔((￢P)∨(￢Q))→O
⇔￢((￢P)∨(￢Q))∨O
⇔P∧Q

つまり、「P→Q(バー)が矛盾していることを証明」するというのは、PとQをそれぞれ別々に証明するというのと同じことです。これはP→Qと同値ではなく、P→Qより厳しい条件(Pが偽であってはならない）になります。
『P→Q(バー)が矛盾しているということは、Pであり、かつQである』ということです。

なぜ同値にならないのですか？
それと、証明がわかりません。なぜ→が∧や∨にかわるんですか？

回答No.1

kfir2001

通常、Q(バー)とは書かずに￢Qと書きます。

>P→Qを証明するのに、P→￢Qが矛盾していることを
>証明しているだけで、なぜ用が済むのでしょうか？
>PであるがQでないものがあるときのとこを
>考慮しなくていいのでしょうか？

「P→￢Qが矛盾していること」を証明できたのなら、
「PであるがQでないもの」は存在しないと証明したのと同じことです。

補足

下のほうにかいたように。
貴方がおっしゃることはわかります。
なぜそのようなことがいえるのですか？

また、P→￢Qが矛盾してるということは、￢(P→￢Q)ということですか？もしそうなら、￢(P→￢Q)⇔￢P→Q,ですか？