対角化

質問

行列の対角化を考えています。
行列に対する固有値がα、βとします

固有値αに対する固有ベクトルが
a
b

固有値αに対する固有ベクトルを
c
d

とすると対角化するためのP^(-1)APのPは
a c
b d
となると言うのが定義ですよね。ある問題を解いているときに思ったのですが

c a
d b

ではいけないのでしょうか？これでやったらうまくいきませんでした。

また固有ベクトルを求める際に固有値αに対して方程式を解いたときa,bと出たとします。このとき固有ベクトルを
b
a
同様に、固有値βに対してc,dと出たときに
d
c
とするとダメなのでしょうか？私がお聞きしたいパターンは
b d 　　 c a
a c 　　 d b
です。Pを決める際にルール（ベクトルを並べるための）等が存在しているのでしょうか？わかりにくくて申し訳ありませんがお願いします。

回答No.3

kony0

A={(1,2)^T; (4,3)^T}ですか。
固有値を求めるためには|A-λE|=0を解けばよいので
(1-λ)(3-λ)-8=0→λ=-1,5
λ=-1に対する固有ベクトルを(x,y)^Tとおくと、x+2y=0なる関係が導き出せるので、(-2,1)^Tは固有ベクトルですが、(1,-2)^Tは固有ベクトルではありません。
（なぜここで迷われているのか疑問です。どういう考えに基づいて固有値に対する固有ベクトルを求めようとしているのでしょうか？意味を考えず機械的に式を解いて数字を出しているだけの計算に陥ってませんか？）

で、
P={(-2,1)^T; (1,1)^T}とすればP^(-1)AP=diag(-1,5)
P={(1,1)^T; (-2,1)^T}とすればP^(-1)AP=diag(5,-1)
となるはず。（計算はしてませんが）どっちでもよいのでは？

理由は#1に書いたとおりです。この問題を解くのであれば、一般的な文字で説明した#1の解説は読み下せないと真の理解は厳しいです。（ひょっとしたら定型パターンにあてはめた数字の計算ならできるようになれるかもしれませんが、それを真の理解とは言いません。ちなみに私は高校生のとき真の理解をしてなかったと思います。）

あと#2さんの言うとおり、定義ではなくて定理です。なぜ固有ベクトルを求めることで対角化できるか、そのあたりの内容も#1で記載してます。固有ベクトルをを並べることにより、行列の積APが（対角行列）とPの積となるところがポイント。そのメカニズムを理解することが必要です。

回答No.2

jmh

> となると言うのが定義ですよね。…
>
定義じゃなくて定理だと思います。

回答No.1

kony0

固有値と固有ベクトルというのは、
Ax=λxとなるスカラーλと縦ベクトルxのことですよね？

であるならば、前者はOKだけど、後者はNGと思いますが・・・ちなみに前者の場合の対角行列も、diag(β,α)と、αとβの位置を入れ替える必要があります。

２つの(縦)固有ベクトルを(横に)並べて正方行列を作る場合において、２つのベクトルの並べ順は問題にならないでしょうが、１つの縦ベクトルの中の順番を勝手に入れ替えると、それは当然ですが固有ベクトルではありません。

言葉足らずの感がありますが、行列の話をTEXTで書くのがちょっと辛いですね。^^;可能な範囲でがんばってみると以下の通り。

ベクトル
a
b
を「(a,b)^T」、行列
a c
b d
を「{(a,b)^T; (c,d)^T}」と表記します。

固有値、固有ベクトルの定義から
A (a,b)^T = α (a,b)^T = (αa,αb)^T
A (c,d)^T = β (c,d)^T = (βc,βd)^T

これより、
A {(a,b)^T; (c,d)^T} = {(αa,αb)^T; (βc,βd)^T}
= {(α,0)^T; (0,β)^T} {(a,b)^T; (c,d)^T}

すなわち P={(a,b)^T; (c,d)^T} とすると、
AP = diag(α,β) P
P^(-1)AP = diag(α,β)
となります。

また、
A {(c,d)^T; (a,b)^T} = {(βc,βd)^T; (αa,αb)^T}
= {(β,0)^T; (0,α)^T} {(c,d)^T; (a,b)^T}

すなわち P'={(c,d)^T; (a,b)^T} とすると、
AP' = diag(β,α) P'
P'^(-1)AP' = diag(β,α)
となります。したがって、２つの縦ベクトルの並び順を変えても問題はないはずです。

ちなみに、(a,b)^Tが固有ベクトルだからといって、(b,a)^Tが固有ベクトルとは言えません。したがって、後者の質問はNGといえます。

補足

レスありがとうございます。
丁寧な証明ありがとうございます。
具体的な行列で質問になをしてもよいでしょうか・・・？

A=1 4
2 3

と言う行列の固有値は-1と5
-1に対する方程式の解の一つの-2と1をとってみる
5に対する方程式の解の一つの1と1をとるとします。
-1の固有ベクトルは(-2,1)^Tか(1,-2)^Tか、さらに
5の固有ベクトルは1,1成分が同じなのでちょっと良い例ではないかも知れません・・・・
このときP^(-1)APのPはどのように構成されますか？
固有値-1に対する固有ベクトルを先に並べるのか、それとも固有値5に対する固有ベクトルが先なのか・・・？
できたら理由を教えて頂けるとありがたいです。