任意の３点が二等辺三角形になる点集合

質問

平面上にn（≧３）個の点がありこの中から
任意の３点を選ぶと二等辺三角形になります。
このときnの最大値を求めてください。
という問題なのですが、わたしはn=6が最大で
その配置は正五角形の各頂点と中心の1点
だと思っているのですがその証明ができません。
n>6の点集合がある場合はその点集合を、
n=6の場合はn=7の点集合がないことの証明をお願いします。

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

図が描けず、説明しにくいので分かりにくかったりしたら、補足してください。

結論：ｎ＝７の点集合は存在しない。

証明：
ｎ＝7の点集合が存在すると仮定し、A[1],A[2],・・・,A[7]とおく。
この7個の点のうち、2つを結ぶ線分の最大値をＲとおく。
(線分の数は、7Ｃ2＝21本(有限個)しかないので、最大値は必ず存在します)

A[1]A[2]＝Ｒとしても一般性を失わない。

点A[1]を中心とする半径Ｒの円を円C[1](←点A[2]を通る)
点A[2]を中心とする半径Ｒの円を円C[2](←点A[1]を通る)
C[1],C[2]の交点をP,Qとします。(Ｌは直線PQに一致)

i=3,・・・,7に対して、
A[i]A[1]A[2]が二等辺三角形である
A[1]A[i]≦R
A[2]A[i]≦R
の３つから、A[3]～A[7]は弧PA[1]Q,弧PA[2]Q,線分PQ上にある事が分かります。

さて、A[3]～A[7]の中で、
弧PA[1]Q上にある点の数、弧PA[2]Q上にある点の数、線分PQ上にある点の数はどれも高々２つです。

よって、弧PA[1]Qまたは弧PA[2]Qのうち、一方には、2つの点が存在し、他方には、1つまたは2つの点が存在する(0個ではない)。

A[3]は弧PA[1]上に、A[4]は弧A[1]Q上に、A[5]は弧PA[2]Q上にあるとしても一般性は失いません。

A[3]とA[4]のどちらか一方は、直線A[1]A[2]に関して、A[5]と反対側にある(A[3]とする)が、
A[3]A[5]＞Ｒである。

これは、線分A[1]A[2]＝Ｒが最大であるとした事に矛盾する。

したがって、「ｎ＝7の点集合が存在する」という仮定が誤りであり、n＝7の点集合は存在しない。□

間違っていたらすいません。

補足

>A[3]は弧PA[1]上に、A[4]は弧A[1]Q上に、A[5]は弧PA[2]Q上にあるとしても一般性は失いません。

ここがわかりません。なぜA[3],A[4]がともに弧PA[1]上にあるケースを考えなくてよいのでしょうか。

回答No.7

eatern27

#6です。

＞なぜA[3],A[4]がともに弧PA[1]上にあるケースを考えなくてよいのでしょうか

Q,A[1],A[3],A[4],P
の順に並んでいるとします。

これまでA[3]と呼んでいた点をA[1],A[1]と呼んでいた点をA[3]と名前を付け替えて、#6の議論を始めから適用すれば、Q,A[3],A[1],A[4],Pの順になります。

補足

わかりました。
たぶんこの証明であってると思います。
ありがとうございました。

回答No.5

kansai_daisuki

今までの証明について、なぜ多角形が正多角形でなければならないのかについて、証明していなかったため、（証明しているけれど、明記していないため）追加いたします。

　今までの証明は、各多角形の任意の辺について述べていましたが、ここで証明を見ていただければ明らかなように、これらが隣り合う辺と同じ長さである条件について言及してるように、そのようである必要があるため、結果として全ての辺の長さが同じである必要があります。即ち、それらの多角形は、正多角形である必要があります。

回答No.4

kansai_daisuki

以上いかがでしょうか？

文字制限があったので分割しましたが、結果としては、下記の6通りの場合のみ、任意の3点を選び、その点を結ぶと二等辺三角形になります。

(1)正三角形　　　　n=3
(2)正方形　　　　　n=4
(3)正五角形　　　　n=5
(4)正三角形＋重点　n=4
(5)正方形＋重点　　n=5
(6)正五角形＋重点　n=6

　以上を、証明したければ、今までの解説に基づいて図を描いて、解説に添付し、証明文として完成させてください。

※文章は長文の羅列になってしまって、すみません。
清書していただけると、証明文として分かりやすいです。

補足

この結論はおかしいと思います。
n=3のときは任意の二等辺三角形がOKですし、
n=4のときはひし形や正五角形の１点を除いた台形などもOKです。
なので正多角形でなければいけないという議論がまちがっていると思うのですが。

回答No.3

kansai_daisuki

（３）正ｍ角形（ｍ＝３，４，５）のときに、他に点がある場合：

　上記の場合に、点が他に付く場合、その点は、多角形の内部に無ければならない。

　ここで、点が内部にある場合は、その点が、二等辺三角形の頂点である場合は、明らかに全ての多角形の辺の垂直二等分線上に無ければならない。
　よって、それは、重心の位置に無ければならない。
逆に、このときに、任意の3点を結べば、二等辺三角形になる。
　次に、それ以外に、多角形の内部に点がある場合、多角形の角をなす点の任意の点と重心の点と重心の点以外の多角形の内部にある点との3点が二等辺三角形にならなければならないが、これは、反例の図を一つ描けば分かるように、必ず二等辺三角形になるとは限らない。

　よって、以上より、正ｍ角形（ｍ＝３，４，５）のときに、かつ、そのそれぞれの正ｍ角形の重心に1点をおく場合の、計6通りのみ、任意の３点を結んだ三角形が、二等辺三角形になる。

　ここで、それぞれの点の数nだが、上記の6通りの順にnの数を列挙すると、n=3,4,5,4,5,6の場合に限られる。

　よって、nの最大値は6である。

回答No.2

kansai_daisuki

（２）奇数角形である場合：
とりあえず、mを1以上の整数とおきます。
すると、奇数角形は、2m+1角形となります。
このとき、辺abを底辺とおくと、この辺の垂直二等分線上にある点が、二等辺三角形の頂点となります。即ち、この点をcとおくと、辺caの長さと、辺bcの長さが等しいのです。
　次に、垂直二等分線上に無い点を三角形の3点目とする。この点を垂直二等分線よりも点b寄りの点として、この点を点dとおくと、辺adまたは辺bdの長さが、辺abの長さと同じでなければならない。よって、辺abの長さと辺bdの長さが同じであるとすると、二等辺三角形になる。次に、辺abの長さと辺daの長さが同じであるとすると、角dbaは60度未満で無ければならない。このとき、多角形は、正多角形にはならない。正多角形にならない場合は、三角形cdbが二等辺三角形になるならば、点dが頂点となる。けれど、明らかに、辺dcの長さと辺dbの長さは異なる。よって、二等辺三角形にはならない。
この三角形を、三角形abdと呼ぶ。

　次に、辺abの垂直二等分線のb側に点d以外にもう一点あるとして、その点を点eとし、三角形abeが二等辺三角形であるとすると、三角形abdのときと同様に、辺abの長さと辺beの長さが同じであるとすると、点dと点eが同一でなければならない。よって、辺abの垂直二等分線より、点b側には、点b以外に最大で1つの点しかあってはならない。

　よって、奇数の角を持つ多角形は、最大で五角形以下で無ければならない。このとき、2m+1=5⇔m=2

　次に、m=1のとき、2m+1=2×1+1=3
よって、三角形となる。これは、正三角形であるときに、二等辺三角形の定義を満たす。

よって、（１）と（２）より、任意の３点を選んだときに、それが二等辺三角形であるためには、正三角形、正方形、正五角形のいずれかでなければならない。

※次に、それに付随する点が付いている場合を検討する。

回答No.1

kansai_daisuki

この掲示板では、図形を描いて証明できないのがつらいですね。よって、とにかく、できる限り文章で証明してみます。
とりあえず、mを1以上の整数とおきます。

（１）偶数角形である場合：
　2m角形は、任意の2点(a,bとおきます。)を底辺としたときに、もう一点は、明らかにその垂直二等分線にありません。よって、その場合は、二等辺三角形は出来ません。次に、それを底辺ではないとすると、それは、底辺以外の辺である必要があります。この場合には、残りの一点(cとおきます。)とaまたはbとの距離(即ち、辺caまたは、辺bcの長さ)が、辺abの長さと同じである必要があります。この場合は、辺abと平行の位置にある多角形の辺を辺deとおくと、四角形abedは、長方形となります。この場合、辺abの長さをxとおくと、正六角形の場合は、辺beの長さは、(2√3)xとなります。よって、辺abと辺beが同じ長さであればよい。このとき、四角形abedは、正方形となります。よって、四角形より角の多い2m角形（即ち、m≧3）である場合、四角形の辺abの外側に、点がなければなりません。けれど、その点は、明らかに、辺abを底辺に持っていません。よって、辺abと同じ長さの辺をもう一つ持っていなければなりません。もし持っているとすると、その点をfとおき、辺afまたは、辺bfの長さが、辺abと同じでなければなりません。このとき、辺edと点fが三角形を成していなくてはなりませんが、これは、明らかに、二等辺三角形ではありません。何故ならば、辺edの長さが最小になり、これを底辺にしなくてはならず、このとき、点fは、辺edの垂直二等分線上にないため、辺ef≠辺dfだからです。

　以上より、2m角形が二等辺三角形をなすのは、四角形(即ち、m=2)のときが最大です。また、m=1のときは、三角形ではないので、2m角形が二等辺三角形をなすのは、四角形のときのみです。

（2m角形の証明終了）