球面上に，互いに離れるように点を配置する

質問

球面上にn個の点を，互いになるべく離れるように（配置したとき最も近い2点の距離が最大になるように）配置するとします。

n=2のときは球の両端，n=3のときは大円上で120度ずつ離れた点，n=4, 6, 8, 12, 20のように内接する正多面体があるときはその頂点になるような気がしますが，それ以外の場合はどういう配置になるのでしょうか？

またnにかかわらず各点から最も近い点への距離は，どの点についても同じになるのでしょうか？

回答No.1

momordica · ベストアンサー

難しいですね。
nがきまれば、2点間の距離が最大となる配置が存在するはずだとは思うのですが、
一般のｎについてどのような配置になるかなど、ちょっと見当もつきません。

ただ、とりあえず指摘できるのは、正多面体は、必ずしも2点間の距離が
最小になる配置ではないということです。

例えば、n=8のとき、半径1の球面上に正六面体（立方体）の各頂点に
なるように配置すると、2点間の距離は
　2/√3=1.154…
となりますが、添付図のように（手書きで適当に書いたので歪んでますが）、
上面と下面が合同な正方形（真上から見ると互いに45°ずれた位置にある）で、
側面が6つの合同な正三角形になるような多面体の各頂点になるように
配置してみると、2点間の距離は
　4/(√(8+2√2)=1.21556…
となり、立方体のときより長くなります。

これがn=8のときの最大値であるかどうかも分かりません。
仮にこれが最大とするなら、一部の点の位置を変えて、その点からのもっとも
近い点への距離だけが、1.21556…より長くなるようにすることはできますから、
「nにかかわらず各点から最も近い点への距離は，どの点についても同じになる」
ということについても、おそらく言えないのではないかという気がします。

お礼

なるほど，正多面体の頂点が最も離れる配置でなく，またこれより離れる配置がありそうだと分かりました。しかし私には解けそうもないという気もします。

ご回答，まことにありがとうございました。

回答No.2

momordica

#1です。
いろいろ書き間違ってしまっていたので、一応訂正しておきます。

×　必ずしも2点間の距離が最小になる配置ではない
○　必ずしも2点間の距離が最大になる配置ではない

×　側面が6つの合同な正三角形になるような
○　側面が8つの合同な正三角形になるような

他にも間違っていたらすみません。

お礼

訂正ありがとうございました。