集合が等しいということ

質問

初歩的な集合についての質問ですが……。

任意の集合をA，Bに対して
(集合Xの要素数をn(X)で表すとします)

n(A) = n(A∩B) かつ n(B) = n(A∩B)

が成立するときはいつもA = Bとなる。と言われたのですが、
自分としては何か反例があるような気がしてなりません。

ネットで調べても
A⊇B ∧ A⊆B ならば A = B というのしか出てこず、
上の要素数による証明に納得できません。
どう考えればわかりやすいでしょうか？

回答No.2

shironekoxxx · ベストアンサー

図を描いてみれば分かりやすいですよ。

マスターカードのロゴみたく、丸を二つ、多少重なるように描きます。
左の丸がＡ、右をＢと仮定。

n(A) = n(A∩B) かつ n(B) = n(A∩B)という事は、図で言うと
左丸の中に存在する物の数＝右の丸の中に存在する物の数＝二つの丸のどちらか（両方にでも良い）の中に存在する物の数
という事になります。

左の丸には入っているが右の丸には入っていない領域をイ、両方の丸に入っている領域をロ、右の丸に入っていて左の丸に入っていない領域をハとします。
イとハが両方ともゼロの時のみしか、上記状態が成り立ちません。

上記の状態をイロハで表現するならば、
イ＋ロ＝イ＋ロ＋ハ＝ロ＋ハ　となります。

お礼

なるほど、よくわかりました！
ありがとうございました！！

回答No.3

koko_u_

>有限の場合のみでいいです。
であれば、成立するでしょう。証明中で「有限集合」である条件がいつ使用されたか考えて下さい。

お礼

n(A)とか書いてる時点で有限なんでしょうか…
無限の場合は濃度を比較しないといけないんで

アドバイスありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

要素数は有限の場合のみを考えているのですか？それとも無限集合も含めて？

補足

有限の場合のみでいいです。
言葉足らずですいません^^;