デルタ関数の表現

質問

以下のデルタ関数を表す式の導出過程を教えていただけたらと思います。

　δ(t)=1/2π*∫(ω:-∞～∞)cos(ωt)・dω

全周波数の重ね合わせというイメージはあるのですけど、上式の演算方法がわかりません。
よろしくお願いしますm(_ _)m。

回答No.1

yaksa

非常におおざっぱな説明ををすると、
デルタ関数というのは、任意の関数f(t)について、
f(0)=∫f(t)δ(t)dx ...(☆)
が成り立つような関数(のようなもの)です。

任意の偶関数f(t)のフーリエコサイン変換
F(ω) = ∫_{-∞,∞}f(t)cos(ωt)dt ... (1)
その逆変換
f(t) = 1/2π*∫_{-∞,∞}F(ω)cos(ωt)dω
t=0を代入して
f(0) = 1/2π*∫_{-∞,∞}F(ω)dω ... (2)
(1)を(2)に代入して、
f(0) = 1/2π*∫_{-∞,∞}dω∫_{-∞,∞}dt*f(t)cos(ωt)dt
　= ∫_{-∞,∞}dt*f(t)*(1/2π*∫_{-∞,∞}cos(ωt)dω)
この式と(☆)を比べると、
δ(t) = 1/2π*∫_{-∞,∞}cos(ωt)dω
てのが出てきます。
この積分はt=0で無限大ですし、t≠0ではイメージとしては0になりそうな気がしないでもないですね。

これはかなり適当な議論なので、ほんとにやるときは、超関数って何？ってとこから始めるべきですが、イメージとしてはこんな感じでしょうか。

お礼

回答ありがとうございますm(_ _)m
まずはこの位の理解をしておき、必要があれば超関数の理解へ進みたいと思います。