AM変調波の電力

質問

通常、教科書ではAM変調波は搬送波周波数ωc、信号波周波数ωs、変調度mを用いて

v_AM = V (1+msinωst)sinωct

とあらわされます。そして、この変調電圧が抵抗Rに印加されたときの電力Pは

v_AM = Vsinωct - mV/2 cos(ωc+ωs) - mV/2 cos(ωc-ωs)t (1)

となることから、各正弦波の有効電力の和として

P = V^2/(2R) + (mV/2)^2/(2R) + (mV/2)^2/(2R) = (１＋ｍ^2/2)Ｖ^2/2R (2)

となるとの記述があります。

しかし、私はこの電力の表式に疑問を抱いています。
（1）式から(2)式への変形は電力の重ね合わせの理が根拠としているのではないでしょうか。
しかし、私の認識では

電力の定義は瞬時電力のRMSで与えられるから、

P = 1/R *1/T*sqrt(∫dt v_AM^2)

となります。ここで、非積分関数はv_AM^2であるから、(1)式の搬送波と側波の重なりが生じることになります。ゆえに、電力は重ね合わせの理を持ち合わせておらず、(2)式は正当性に疑問を持っているのです。

あるいは、(2)式はωc>>ωsであることからくる近似式なのでしょうか？

皆様よろしくお願いします。

回答No.3

foobar · ベストアンサー

v_AM^2を計算すると、同じ周波数成分の積の項と異なる周波数成分の積の項が出てきます。
後者は平均すると0になり、結局同じ周波数成分の積の平均だけ残って、
P = V^2/(2R) + (mV/2)^2/(2R) + (mV/2)^2/(2R)
になるかと思います。

お礼

式を具体的に書き下してみると、三角関数の偶奇性から、重なり部分の積分が0になることが示せました。
このくらい自分で考えられないといけないですね;
ありがとうございました！

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

(1)は第２項で t が抜けてますし、第３項は符号が逆だと
思いますが、おっしゃていることは正しいです。

但し、ωs<<ωc なら違いは積分でほとんど消えてしまって
無視できます。つまり重ね合わせが成り立っているとしても
実用上はなんの問題もありません。

実際に積分してみれば直ぐに解ります。
やさしい積分です。

お礼

ご意見ありがとうございました。
一度手計算してみたいと思います。

回答No.1

nekonynan

v_AM = V (1+msinωst)sinωct

１．v_AM = V (1+m　cos　ωst)sinωct　ですよ

これがAMの一般式

１．を展開する（略）

ここで搬送波が時間と共に変化しないして

三角関数の公式を使って

v_AM = Vsinωct - mV/2 sin(ωc+ωs) - mV/2 sin(ωc-ωs)t (1)

となる

以上

補足

早速の返信ありがとうござます。

>>１．v_AM = V (1+m　cos　ωst)sinωct　ですよ

cos→sinと置換しても位相のみの問題なので大したことではないのではと思いますよ。
私が気になっているのは

>>v_AM = Vsinωct - mV/2 sin(ωc+ωs) - mV/2 sin(ωc-ωs)t (1)

の導出ではなく、AM変調波全体の電力の表式（私が書いた(2)式）の導出に疑問があるのです。