公倍数について

質問

最小公倍数が求まったあと、その次に小さい公倍数は、最小公倍数を２倍すればもとまると思うのですが、この証明を教えて下さい。
ずっと考えているのですが、思いつきません。
よろしくお願いします。

回答No.2

kansai_daisuki · ベストアンサー

No.1さんの以下の定義を使わせていただきます。

>aとbの最小公倍数がmだったとしますよね。
>で、その次に小さい公倍数がnだったとします。

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[1]
まず、aとbの最小公約数をlとおくと、
a=a'×l
b=b'×l
m=a'×b'×l
(ここで、a'とb'は、互いに素)
よって、m ≡ 0 (mod a) , m ≡ 0 (mod b)

[2]
次に、mの次に小さい公倍数をnとおくと、
n ≡ 0 (mod a) , n ≡ 0 (mod b)
よって、
n=a×n1 (=a'×l×n1) --- (1)
n=b×n2 (=b'×l×n2) --- (2)
ここで、a'とb'は、互いに素であるから、
n1=b'×c1 --- (3)
n2=a'×c2 --- (4)
(ここで、c1とc2は、1以上の整数)
でなければならない。
よって、(1)～(4)より、
n=a×n1 =a'×l×n1 = a'×l×b'×c1 = a'×b'×l×c1 --- (5)
n=b×n2 =b'×l×n2 = b'×l×a'×c2 = a'×b'×l×c2 --- (6)

ここで、(5),(6)より、２つの式は、ともにnであるため、
c1=c2
よって、これを、cとおくと、
(5)=(6)= a'×b'×l×c (= n) --- (7)
(ここで、cは、1以上の整数)

よって、[1],[2]より、
n = a'×b'×l×c = m×c

よって、a,bの任意の公倍数nは、a,bの最小公倍数mの倍数である。

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以上より、最小公倍数が求まったあと、その次に小さい公倍数は、
最小公倍数を２倍すればもとまる。

お礼

ありがとうございます！
＞よって、a,bの任意の公倍数nは、a,bの最小公倍数mの倍数である。
実はこの結論の証明も考えてたんですが、いきなりは難しそうなので質問の命題を考えてました。
♯１さんのやりかたでｎ＝２ｍを証明した後、三番目に小さな公倍数は例えばｋ＝３ｍとなり、、、と帰納法的に証明できそうかなと思ってましたが、とてもすっきりした証明ですね。

ｌはa,bの最大公約数ではないでしょうか？
かんちがいだったらごめんなさい。

回答No.5

yoikagari

どうも「正統な方法」というのがひかっかたようですね。余計なことを書いてしまって申し訳ないです。

ただkansai_daisukiさんの解答には、「aとbが互いに素でbcがaで割り切れるならば、cがaで割り切れる」という定理が暗黙のうちに仮定されています。

高校生が解答をする上ではこれで問題はないのですが、意欲的なstripeさんのために、上記の定理を用いない証明を教えたというわけです。

補足

皆様ご回答ありがとうございました！
いろいろな角度からアプローチしていく姿勢はやはり大事だとおもうので、いろいろな方面からの証明を教えてもらえてよかったです。
小学生に公倍数のあたりをおしえてるんですが、小学生の知識だと倍数をひたすら書き出していって求めるやりかたが主流のようなのですが、せめて最小公倍数を×２、×３としていけばよいという事実は、天下り的ではありますが教えてあげようとおもいます。
勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.4

kansai_daisuki

>ｌはa,bの最大公約数ではないでしょうか？

そうですね。stripeさんの言うとおり、最大公約数です。
すみませんでした。

　また、No.3さんの背理法を用いた解法ですが、確かに背理法を用いるという視点も問題によっては必要不可欠である場合もありますが、任意の問題を解く方法に、正統かどうかは一概に言えないと思います。

　問題によっては、ある数式を、等式を用いたり、三角関数の合成を用いたり、ベクトルやグラフや微分を使うなど、複数の解法がある場合があり、どれが正統でどれが正統でないかは断言できないと思うからです。

　高度な問題を解く場合は、その問題を解くときに、１つの解法だけではなく、複数の解法を使って解いてみると、いざと言う時に、自由自在にいずれか１つの解法を引き出しから引き出せて、数学に強くなるかもしれません。もちろん、複数の解法を同時に修得するのが無理な場合だと思えば、１つの問題につき得意な１つの解法に絞って覚えていけばよいと思います。

　今回の私も、数式で解けない見通しがあれば、背理法など他の手段を使っていたと思います。

回答No.3

yoikagari

少し難しいかもしれませんが、発展的な説明をします。

mをa,bの公倍数とします。sをa,bの最小公倍数とするとき、mはsで割り切れる証明をします。
(2さんの別解ですが、整数論の証明では私の証明の方が一般的です)。

背理法を用います。

あるa,bの公倍数mがa、bの最小公倍数sで割り切れないことがあると仮定します。

mをsで割り商をq、余りをrとします。
m=sq＋r、0＜r＜s

m=au=bk、s=av=bhと書けます。
r=m-sq=a(u-vq)となるので、rはaで割り切れます。
r=m-sq=b(k-hq)となるので、rはbでも割り切れます。

よってrは、a、bの公倍数となるが、0＜r＜sとなって、rがa、bの最小公倍数sよりも小さな公倍数となてしまいます。
これは、sがa、bの公倍数のなかで最小という仮定に反します。

よって、sで割り切れない公倍数mは存在しないことがわかります。

よって、a、bの任意の公倍数mはa、bの最小公倍数sで割り切れることがわかります。

お礼

ありがとうございます！
背理法を使ってみてもできるんですね。
理科系の学部にいるんですがこういうような純粋数学っぽい問題はあまり解かないので、おもしろいですがむずかしいですね！
勉強になりました。

回答No.1

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aとbの最小公倍数がmだったとしますよね。
で、その次に小さい公倍数がnだったとします。

aとbの公倍数というのは、aでもbでも割れる数ですから、
mもnも、aとbで割れます。
ですから、もちろん、n-mをaでもbでも割ることができます。

もし、n-mがmより小さければ、おかしいですね。
n-mはaでもbでも割れる数ですから、公倍数です。
そのうちの一番小さいものがmだから、
n-mがmより小さいということはありません。

だから、n-mはm以上ということがわかります。

特に、n-m=mつまり、n=2mのときには、
aでもbでも割れます。

以上より、
mから2m-1までは全部公倍数にならず、
2mは公倍数になるので、
mの次に小さな公倍数は2mとなるのです。

お礼

ありがとうございます！
すごいわかりやすかったです。
すっきりしました。