双対空間って

質問

よく双対空間という言葉を聞くのですが、いまいちどういったものなのかが
ピンときません。
どなたか簡単に教えて頂けますでしょうか。

ベクトル空間との違いなどもよければお願いします。

回答No.2

guiter · ベストアンサー

双対空間（dual space）のことですね。
あるベクトル空間Ｖから実数Ｒあるいは複素数Ｃへの
一次写像全体のことをＶの双対空間と呼びます。

例えば、Ｖが n次元列ベクトルの集合のとき
Ｖの双対空間Ｖ*は n次元行ベクトルの集合になります。
　(a1,a2,…,an)・t(b1,b2,…,bn)　　（tは転置）
を計算してみればわかりますね。

専門家の方のより厳密な説明を待ってみてください。

お礼

どうもありがとうございました。
なんとなくですが、感じがつかめた気がします。
あとは自分で調べたりしてみます。

回答No.4

prome

回答は出ていますし、あとでお調べになるということなので、
追加説明を少し。

双対は「そうつい」と読みます。数学ではこの双対性をよく議論します。
ベクトル空間に対応する双対空間をはじめ、
射影幾何学における点と線の関係も双対です。

そして実は、写像の全射と単射は双対の関係、
集合論の積集合（∩）と和集合（∪）もそうです。
これらは一見、双対を意識させないので、初めて知った時は驚きでした。

u13さんがおっしゃるように、カテゴリーを数学にしておけば、
相対（そうたい）との勘違いもなかったでしょうに。

お礼

ありがとうございました。
確かに数学的ではあるのですが、電磁波の散乱界における
双対空間の議論だったので物理にしてみました。
すいません

回答No.3

u13

どうもすみません。1番の回答のu13ですがどうも大ボケをかましていたようです。まったくもって質問を取り違えていました。
とっても恥ずかしい限りです。すっかり無視してください。

質問の「ベクトル空間との違い」はさっぱり意味がわからないなぁと思っていましたがわからないわけですね。
guitarさんにはしばしばお世話になっています。ありがとうございます。

ところで、ご質問の件は物理ではなく数学になるんじゃないでしょうか?…負け惜しみの捨て台詞にしか聞こえないですね。

お礼

いえいえとんでもございません。
答えて下さろうとしたことだけでもありがたいです。
またよろしくおねがいします。

回答No.1

u13

ご質問は「絶対静止空間」に対する「相対性」についてでしょうか?
質問を取り違えていたらごめんなさい。

光は真空中でも直進し,その速度は秒速299,792,458mです。ところで、真空中をどうやって光は伝わるのかかんがえると、真空といえども空間に充満した「エーテル」なるものが存在し,エーテルは宇宙空間（絶対静止空間)に対して静止している。光はこのエーテルを伝って進むのだ。と考えることもできました。
このとき、地球は太陽の周りをまわり,太陽は銀河中心の周りを回転しているので地球は猛スピードでエーテルの中を走っていると考えられます。したがって,地球の進行方向に平行な向きと直角な向きでは光の速度を測ると差が出るはずだ。と思われました。が、マイケルソン=モーレイの実験に代表されるように実際に測ってみるとどの向きでも光速は同じでした。

そのような実験事実から,絶対静止空間の概念は捨てて物事をすべて相対的に考えよう。実験が示すように光の速度はどこで測っても同じなのだ。という考えからスタートしたのがアインシュタインの相対性理論です。ここでは物事は時間の流れも含めていつも相対的に議論されています。このようなものの考え方をする空間のことを「相対空間」と呼ぶのかもしれませんがこれは自信がありません。

「簡単に教える」のはここではちょっとできないのですが,(特殊)相対性理論は決して難しい理論ではありません。たぶん中学校卒業程度の数学力があれば理解できると思います。大学生用の教科書を一読されることをお奨めします。