三角関数の微分積分とガウス空間の関係は双対の関係？

質問

サインコサインの微分積分で正負が変わりながら交互に現れることと、ガウス空間でiと１とがやはり正負を変えながら交互に現れるのは双対の関係にあるといえるのでしょうか。

回答No.3

masudaya · ベストアンサー

前の回答に，微分する毎にｉを掛けることに対応していると思います．
その意味で，iを掛けることと，exp(ix)を微分することは同値といえます．
双対というのはやや複雑な考え方で，対象によって明確な定義は異なります．
物理で言うと電場と磁場は双対関係と呼ばれ，ほぼ似たようなことな成り立つことを表します．
同様に電気関係では電圧と電流も双対と言いますが，
インピーダンスなどは逆数の関係を双対と呼ぶようです．
一方，数学では対偶みたいな位置にある関係を言うようで
双対の双対が元に戻る関係を言うようです．
図形やグラフでは，面内の点と各面の頂点の関係で
線型代数では例えばベクトルから実数への線形写像を考え写像全体の集合を考えると
ベクトル空間と写像全体の集合を双対と言うそうです．
これも双対の双対がもとのベクトル空間になるためそう呼ぶようです．
論理や集合ではでは，∩と∪を入れ替えた関係などがあります．
以上のことを考えると，おっしゃる内容は双対と言うよりは
イメージ的には同型に近いものかと思います．

お礼

微分と回転の関係というか、微分と虚数の関係とか不思議です。もう少し勉強してみます。

回答No.2

masudaya

オイラーの公式でiを虚数とし
y=exp(ix)とすると

y' =i exp(ix)
y'' = -exp(ix)
y''' =-iexp(ix)
y''''= exp(ix)

となります．これはまさに三角関数の微分に一致しています．
(オイラーの公式が三角関数で表されるので当たり前と言えば当たり前ですが．．．)
ここでiのかけ算は複素平面(ガウス平面)での90度回転になります．
なので，SinがCosになり，さらに90度回転すると，180度回転になるので正負が逆になります．
このように，ガウス平面でとらえると非常に関係があることが分かると思います．

お礼

微分という操作と回転という操作が対応することは、あたりまえなので不思議でも何でもないのかもしれませんが、こういう関係は双対という概念とは関係がないのだろうかというのが質問だったのです。

回答No.1

masudaya

オイラーの公式を使うと,exp(iθ)が
cosθ+isinθとなることを知っていれば,
複素平面と三角関数の微分には大きな関係があることが分かると思います.

お礼

私には難しすぎるご教示でした。自分なりに理解したいので、もう少しヒントを頂ければと思います。