この問題が解けません

質問

今数学の勉強をしてるんですが、証明の問題（下記）につまずいてます。どなたか分かりやすくこの問題
の解き方を教えてください。

次の不等式が成り立つことを証明せよ。

｜a｜- ｜b｜ ≦ ｜a+b｜ ≦ ｜a｜+ ｜b｜

回答No.6

tarame · ベストアンサー

ちょっと違う手法で……
(1) x≦|x|,-x≦|x| の証明
　　x≧0のとき　-x≦x＝|x|
　　x＜0のとき　x＜-x＝|x|
(2) |a+b|≦|a|+|b| の証明
　　 a≦|a|, b≦|b|より　a+b≦|a|+|b|
　　-a≦|a|,-b≦|b|より　-(a+b)≦|a|+|b|
　　|a+b|は、a+b,-(a+b)のいずれかだから
　　　　|a+b|≦|a|+|b|
(3) |a|-|b|≦|a+b| の証明
　　(2)より |x+y|≦|x|+|y|
　　x＝a+b,y＝-b とおくと　|a|≦|a+b|+|-b|
　　よって　|a|-|b|≦|a+b|

回答No.5

rinri503

二乗して比較すればいいと思います
右２項は、いずれも正だから右端の二乗から中項の二乗を引いて　ａｂ≧０のときとａｂ＜０に場合わけする

左端は｜ａ｜≧｜ｂ｜のときは二乗して、上と同様にする
　　　｜ａ｜＜｜ｂ｜のときは　左端≦０だから題意は成立

　　使う性質　（｜a｜+ ｜b｜）＾２＝２｜ａｂ｜
　　　　　　　　（｜a+b｜）＾２＝２ａｂ　
　　　　　（｜a｜- ｜b｜）＾２ ＝２｜ａｂ｜
　　　　二乗は省略してますから補ってください

　　もちろんａ＞０ｂ＞０など４とおりで比較しても
　　かまいませんが上ならそれぞれ２とおりでいけます

回答No.4

hinebot

#2です。

#3さんへ
>ｂが負のとき、式の左がイコールで、式の右が＜、
>ｂが正のとき、式の右がイコールで、式の左が＜、

これは必ずしも成り立ちませんよ。
反例は　ａ＜０としてみてください。

回答No.3

january2005

絶対値は常に正なので、
|a|-|b|≦|a|+|b| ですね。
ｂが負のとき、式の左がイコールで、式の右が＜、
ｂが正のとき、式の右がイコールで、式の左が＜、
ｂが0のとき、どっちもイコール。
これでいいかな。

回答No.2

hinebot

(1)
まず、
(i)左側２つ　｜a｜- ｜b｜ ≦ ｜a+b｜
と
(ii)右側２つ｜a+b｜ ≦ ｜a｜+ ｜b｜
を分けて考えましょう。
（一度にではなく、それぞれを証明すればよい）

(2)
さらに(i)左側２つの方は
(ア)｜a｜- ｜b｜＜０の場合と
(イ)｜a｜- ｜b｜≧０の場合
の２つに分けて考えます。

(i)(ア)のときは、絶対値の定義から　｜a+b｜≧０　なので、常に
｜a｜- ｜b｜ ＜ ｜a+b｜
となります。
(i)(イ)と(ii)のときは、両辺を２乗してみましょう。

p＞0, q＞0のとき p＜q ⇔ p^2＜q^2
という性質を使います。

これ以上書くと、解答そのものになりますので、あとはご自身で頑張ってください。

回答No.1

yx20909

ａ≧ｂとすると、絶対値は全て正の数ですから｜a｜- ｜b｜も｜a+b｜も｜a｜+ ｜b｜も全て０以上になりますよね？

あとは、それぞれの数の大小を求めるだけです。いくつか方法ありましたよね、その中の一つを使えばいいのです。