帰納法の問題

質問

{（a-b）(a^k-b^k)}/4
=[(a-b)^2{a^(k-1)+a^(k-2)b+・・・・+b^(k-1)}]/4

上からしったって何をやったんですか？誰かご教授下さい！

ちなみに問題は
nが自然数の時、次の不等式を数学的帰納法で証明せよ。

a＞０、b＞０のとき、　(a^n+b^n)/2≧{（a+b)/2}^n

一番うえと二番目のしきはこの問題の途中式の中に出てきました。

回答No.3

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

＞上からしったって何をやったんですか？

頻繁に出てくる因数分解です。「記憶してください。」

x^n-y^n=(x-y){x^(n-1)+x^(n-2)・y+x^(n-3)・y^2+…+x^2・y^(n-3)+x・y^(n-2)+y^(n-1)}

この式が正しいことは、ただ単純に、右辺を展開してみれば分かります。全体の式がどうなっているのか分かりづらい場合は、nの値が小さな場合にどうなるか、n=3とか4とかの具体的な数を代入して、確かめてみてください。

また、等比級数の公式から上の等式を導く考え方もあります。確か、公式は、次のとおりでしたね？

i=1Σn {ar^(i-1)}=a i=1Σn {r^(i-1)}=a{1+r+r^2+…+r^(n-2)+r^(n-1)}=a(1-r^n)/(1-r)　(a≠0, r≠1)

定数aが邪魔なので、aで割ってやると、

1+r+r^2+…+r^(n-2)+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

∴1-r^n=(1-r){1+r+r^2+…+r^(n-2)+r^(n-1)}

ほら、因数分解の形をしていますね？r=y/xと置くと、

1-(y/x)^n={1-(y/x)}{1+(y/x)+(y/x)^2+…+(y/x)^(n-2)+(y/x)^(n-1)}

両辺をx^n倍

(左辺)=x^n {1-(y/x)^n}=x^n-y^n

(右辺)=x{1-(y/x)}・x^(n-1) {1+(y/x)+(y/x)^2+…+(y/x)^(n-2)+(y/x)^(n-1)}=(x-y){x^(n-1)+x^(n-2)・y+x^(n-3)・y^2+…+x・y^(n-2)+y^(n-1)}

確かに、最初の因数分解の式ができました。

回答No.4

alice_44

一行目から二行目へは、
aのk乗 - bのk乗 を因数分解して、
(a - b) を括り出しています。

a = b のとき aのk乗 - bのk乗 = 0
であることに気づけば、因数定理から
(a - b) が括り出せることが判ります。

括り出した後の｛ ｝内の式は、
多項式の割り算を実行すれば、求められます。

回答No.2

ereserve67

帰納法は使いませんが，質問者様疑問の「途中式」がでてくる証明を示しましょう．証明すべき不等式は次のように書き換えられます．

（☆）a^n+b^n≧(1/2)^{n-1}(a+b)^n

n=1のときは自明ですから，n=2,3,・・・のとき示せばよいです．そのためには，次の不等式を示せばよいです．

（★）a^{k+1}+b^{k+1}≧(1/2)(a^k+b^k)(a+b) (k=1,2,・・・)

なぜなら，これを次々に使って（☆）が得られるからです．

a^n+b^n≧(1/2)^2(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)=・・・=(1/2)^{ｎ-1}(a+b)(a+b)^{n-1}=(1/2)^{n-1}(a+b)^n

さて，（★）です．

左辺―右辺
=a^{k+1}+b^{k+1}-(1/2)(a^k+b^k)(a+b)=(1/2)(2a^{k+1}+2b^{k+1}-a^{k+1}-b^{k+1}-a^kb-ab^k)
=(1/2)(a^{k+1}+b^{k+1}-a^kb-ab^k)=(1/2)[a^k(a-b)-b^k(a-b)]=(1/2)(a^k-b^k)(a-b)

kが自然数のとき，a^k-b^kは次のように因数分解されます（これは知っておいた方がいいですよ）．

a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+・・・+a^2b^{k-3}+ab^{k-2}+b^{k-1})

k=1のとき右辺右の括弧内は1と考える．k=2,3,・・・のとき具体的に確かめるとわかりますし，等比数列の和の公式としても理解できます．高校数学にはよくでてきますね．すると，

左辺―右辺
=(1/2)(a^k-b^k)(a-b)=(1/2)(a-b)^2(a^{k-1}+a^{k-2}b+・・・+a^2b^{k-3}+ab^{k-2}+b^{k-1})≧0

となります．（★）が示され，（☆）が示されました．

回答No.1

yyssaa

n=1のときは与式の左辺=(a+b)/2=与式の右辺なので与式が成り
立つ。
(a^n+b^n)/2≧{(a+b)/2}^nのとき、n+1では与式の左辺
={a^(n+1)+b^(n+1)}/2
これから{(a^n+b^n)/2}*{(a+b)/2}をマイナスすると
{a^(n+1)+b^(n+1)}/2-{(a^n+b^n)/2}*{(a+b)/2}
={a^(n+1)-ba^n-ab^n+b^(n+1)}/4={a^n(a-b)-b^n(a-b)}/4
=(a^n-b^n)(a-b)/4≧0(a、bの大小に無関係)
よって、
{a^(n+1)+b^(n+1)}/2≧{(a^n+b^n)/2}*{(a+b)/2}
≧{(a+b)/2}^n*{(a+b)/2}={(a+b)/2}^(n+1)
=与式の右辺をn+1とした式
よってnが自然数、a,b＞0で与式が成り立つことが証明
された。なお、等号はa=bのときである。