数学で困ってます、、、

質問

↓この定理の証明がうまくいかなくて困っています。

　ｆ(X)→A　(X→a)　であるための必要十分条件は、Xｎ→a　(ｎ→∞)　(ただしXｎ≠a)である任意の数列{Xｎ}に対し、ｆ(Xｎ)→A　(ｎ→∞)となることである。

　この定理の証明がわかる方がいたら教えていただきたいです。

回答No.2

ramayana

f を、ある距離空間から距離空間への写像（実数変数の実数値関数など）であって、 a の近傍から a を除く領域で定義されているものとします。以下のようになります。

（１）　「 f の定義域に含まれ lim[n→∞]Xn = a なる任意の点列 X1, X2, ・・・ に対して、 lim[n→∞]f(Xn) = A 」

（２）　「 lim[X→a]f(X) = A 」

として、（１）⇒（２）を示すことにする。なお、（２）⇒（１）は、当たり前。

δを正の実数とする。また、 X が |X-a| < δの範囲で f の定義域を動くときの、 |f(X)-A| の上限を、 S(δ) とする（ S(δ) は、非負実数又は∞）。

（３）　「 lim[δ→0]S(δ) = 0 」

とすれば、（２）は（３）と同値である。そこで、（３）が成立しなければ（１）が成立しないことを示すことにする。次のとおりである。

（３）が成立しない
⇒ある正の実数εが存在し、どんな小さなδに対しても S(δ) > ε
⇒どんな大きな n に対しても、 S(1/n) > ε
⇒どんな大きな n に対しても、 |Xn-a| < 1/n かつ |f(Xn)-A| > εなる Xn が存在する。
⇒このように選ばれた X1, X2, ・・・は、（１）の反例
⇒（１）が成立しない

（本当は、 S(δ) を持ち出さなくても証明できます。ただ、極限とかを扱うときは、このように乖離の上限を介在させた方が、頭を整理しやすいと思います。）

お礼

回答ありがとうございました！！！
　すごく参考になりました！！！

回答No.1

noname#171951

条件が何か抜けているようです。