不偏推定量

質問

不偏推定量について、うまく理解できていないようなので手助けをお願いします。
以下の問題に取り組んでいます。

データX1,X2,...,Xn は指数分布Ex[λ^(-1)]から独立に得られている。指数分布Ex[λ^(-1)]の確率密度関数は
f(x;λ)= (1/λ)*e^(-x/λ)　（x>= 0)　, x<0 のときは　0
と表せる。　　パラメータλの推定量として
T1 = (1/n)Σ(i=1->n) Xn を考える。
T1が不偏推定量であることを示せ。

不偏推定量の定義等などは、授業で教えてもらいなんとなく理解したのですが（　E(s^2) = (1/(n-1)) Σ　（Xi－X')^2　（X'は推定される平均)などは理解)、問題を解くとなると　まったく応用できません。

T1の形から、パラメータは平均(μ)を推定したいのかなぁ
それなら、　E(T1)= λ　を示せばいいのか?
と考えてるのですが、なにか検討違いな気がしてなりません。

何をすればいいか、よくわからず混乱しているのですが、
どなたかアドバイスをいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

母集団のある数値θを推定したいために、この母集団からサンプル
X1,…,Xnを取り出して、これらのある関数φ(X1,…,Xn)を作って、
これがθの不偏推定量になっているかどうかは、E[φ(X1,…,Xn)]=θ
となっていることを確認します。
つまり、X1,…,Xnの値によってφ(X1,…,Xn)は変動しますが、平均的に
θの周辺を変動するということで、まあ推定量としての常識的な条件は
クリアするということです。

指数分布では、それぞれのX1,…,Xnの平均はλなので、T1=ΣXi/nの
平均は、E(T1)=E(ΣXi/n)=ΣE(Xi)/n=Σλ/n=nλ/n=λとなっており、
T1はλの不偏推定量であることが分かります。

平均値の不偏推定量を考える場合は、指数分布以外でも同様の形になる
と思います。分散とか標準偏差は分布の形によるでしょう。

さらに、推定量の変動幅が小さいものほど、推定量としては優れている
ということで、推定量の分散が最小のものを有効推定量といいます。

お礼

貴重な時間を私のために割いて、回答していただいてありがとうございます。
理解できました。
E(T1)=(1/n)E(ΣXi)=(1/n)Σ(E(Xi))
=(1/n)Σ(∫x*f(x)dx)
= λ
ということですよね。

他にT2=n*min(Xi)がλの不偏推定量であることを示せという問題もあるのですが zk43 さんの回答のおかげで、不偏推定量を理解する手助けを得て、解くことができました。　大変感謝しています。
ただ、T1の平均二乗誤差の計算で困っていて、新しいトピックで質問しようと考えています。もしよかったら、またよろしくお願いします。
ありがとうございました。