数論

質問

定理2.5
自然数ｎに対して(2.28）
ｘ＾2+ｙ＾2＝ｎが（ｘ,ｙ）=１となる解ｘ，ｙ∈Ｚ（すなわち原始解）を持つための必要十分条件は、ｎを素因数分解してｎ＝ΠＰｉ＾ｅi（ｅi＞0）とするとき
　　　　　　i
ｎは４で割り切れないかつＰｉ≡3(mod4）となるＰｉが含まれないことである。という定理(岩波1978年基礎数学　数論　ｐ７２）があります。
なおｉは添え字
（証明)必要性　Ｐｉ≡3(mod4）とする。(2.28）の原始解（ｘ，ｙ）があればｘ≡Ｌy(modＰｉ）とすればｎ＝ｘ＾2+ｙ＾2≡y^2(1+Ｌ^2）≡0(modＰｉ）よりＬ^2≡-1
(modＰｉ）でなければならない。
これはＰｉ≡3(mod4）に矛盾する。
(十分性はここでは省略します）
この必要性の証明の中で最後の記述なぜこれはＰｉ≡3(mod4）に矛盾するのかというのがわかりません。ご指導方よろしくお願いいたします。

回答No.1

mild_salt · ベストアンサー

平方剰余の相互法則の一つ（何と呼ぶかは忘れました…）に,
「奇素数pについて, -1がpの平方剰余となる ⇔ p≡1 (mod 4)」
というのがあります. おそらく同じ本に載っているのではないでしょうか?

これは, 「-1がpの平方剰余とならない ⇔ p≡3 (mod 4)」と同じことですので, p≡3 (mod 4)のときにL^2≡-1(mod p)なるLは存在しないことになります.

お礼

このように説明されるとすっきりわかりました。

逆になぜこんなことがわからなかったか不思議になるくらいです。
どうもありがとうございました。