おしえてください

質問

誰か、おしえてください。
問題は
(1)
7＾(n＋1)＋8＾(2n-1)は57で割り切れることを証明するには？

7＾(n＋1)＋8＾(2nー１）
=7＾(n-1＋2)＋8＾｛2(n-1)＋1｝
=7＾2×7＾(n-1)＋

ここまでしかわかりません。
(2)
3＾36を23で割った余りを求めるには？

3＾3=27≡4(mod23)
(3＾3)＾3≡4＾3=64≡-5(mod23)
(3＾9)＾2=3＾18≡25≡2
(3＾18)＾2=3＾36≡

ここまでしかわかりません。

(3)
2桁の自然数でその２乗した数の下の２桁がもとの２桁の自然数に一致するものがある。このような２桁の自然数を求めるには？

2桁の自然数を 10X＋y(1≦x≦9,0≦y≦9)
x,yは整数とおくと、
(10x＋y)＾2=100＾2＋2×10xy＋y＾2
=100＾2＋10・2xy＋y＾2

ここまでしかわかりません。
できれば、丁寧におしえてくもらえるとうれしいです

回答No.3

noname#5277

(3)も解答させていただきます。
求める数をnとすれば、
　n^2-n
が１００の倍数になればいいんですよね。
これなら探すのもらくだと思うんですけど。

回答No.2

noname#5277

modが分かるのでしたら、(1)もmodで解けますよ。

7^(n+1)+8^(2n-1)
=49*7^(n-1)+8*8^{2(n-1)}
=49*7^(n-1)+8*64^(n-1)

ここで、mod57で考えれば
　64≡7
より
≡49*7^(n-1)+8*7^(n-1)
≡57*7^(n-1)≡0

以上です。

回答No.1

taknt

(2)
3＾36を23で割った余りを求めるには？

3＾3=27≡4(mod23)
(3＾3)＾3≡4＾3=64≡5(mod23)
(3＾9)＾2=3＾18≡5＾2≡2(mod23)
(3＾18)＾2=3＾36≡2＾2=4(mod23)

ってことで ４です。

実際
3＾36 は 150094635296999121
23×6525853708565179が 150094635296999117
で あまりが ４となります。