フェルマーのやらなかったこと

質問

おなじみのフェルマの定理：
n を正の整数とすれば、
2<n　のとき
x^n + y^n ＝ z^n
をみたす整数の組（x,y,z）は存在しない。

ですけども、

ここで、n　を整数全体にに拡張して、
n=1　のときは、いくらでも整数解があります。
n=0　のときは、無意味です。（整数解は無い）
n=-1　のときは、たとえば、（x,y,z）=（4,4,2）はひとつの解ですよね。

さて、n=-2,-3,-4,-5,・・・
などのときを調査するのは、数学的に意味のある営みでしょうか？
忌憚なきご意見・見通しをお願いいたします。

必要ならば、高額のため、「ガウス整数」なども俎上にあげていただくことも期待しています「。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

n＜-2で、x^n + y^n ＝ z^n　の整数解が存在すれば、
(yz)^(-n) + (xz)^(-n) ＝ (xy)^(-n)
より、フェルマーの定理の反例になるのでは。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
投稿したことを忘れていてお礼が遅くなりました。すみませんでした。
もう少し深まらないか、考えてみます。

回答No.1

koko_u_u

>などのときを調査するのは、数学的に意味のある営みでしょうか？

意味はある。
あとは貴方の楽しみなので、お好きにどうぞ。

お礼

ご回答ありがとうございました。
（投稿したことを忘れていて、お礼が遅れました。すみませんでした。）

昼休みにでも考えて見ようかと思います。