乗法的な数論的関数

質問

f は自然数から実数への関数(数論的関数)で、
gcd(m,n)=1 ⇒ f(mn)=f(m)f(n)　(乗法的)
をみたしている。また、素数のべき乗の集合
{p^k |pは素数、kは1以上の整数}
の元を若い順に並べた数列を{p^k}とする。
このとき、lim[p^k→∞] f(p^k)=0 ならば
lim[n→∞] f(n)=0 が成り立つと説明なしで
本に書いてあったのですが、考えても証明が
よくわかりませんでした。教えてください。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

(2)の最後は「それら全ての積に1を足したものをNとせよ。」ですね。後(1)は |f(p^k)| <1と、絶対値を付けて考えてください。

で、最後まで書いておきます。

(3)
(1)から fは有界なので、ある実数 Cが存在して、任意の正整数 nに対して |f(n)| ≦ Cとなる。
任意の正実数 eをとる。lim[p^k→∞] f(p^k)=0 だから、とある正整数 Pがあって、p^k > K_2ならば | f(p^k) | < e/C となる。
この K_2 に対して、(2)からとある正整数 N_2があって、任意の n≧ N_2に対して、 ある p^kがあって、 p^k > K_2 かつ p^k | n となる。

任意の n≧ N_2なる自然数 nをとる。p^k | nとなるp^k達のなかで、最大のものをとる。n = q * (p^k)としたとき、
(3-1) qとp^kが互いに素であることを確認せよ
(3-2) |f(n) | = |f(q)| * |f(p^k)| < e となることを示せ。

お礼

ありがとうございます。

ただ、非常に硬質かつ美文で、読んでいる本よりもハイレヴェルな回答でして、はじめ私の脳は理解することを拒否しておりました((2)なんてサッパリ…)。しかし何度か読んでいるうちになんとか自分なりにわかりやすいように理解しようと脳が動き始めました。
そしてついに以下のように理解したのですが大丈夫でしょうか…。

まず、fは有界。
自然数nに対してnの素因数分解に現れる素数べきで最大のものをa[n]とする。
a[4]=a[12]=2^2, a[18]=3^2, a[20]=5 など。
すると、n→∞でa[n]→∞(したがってf(a[n])→0)である。
n=a[n]*b[n]とかくと、a[n]とb[n]は互いに素。
|f(n)|=|f(a[n])*f(b[n])|<C*|f(a[n])|→0 (n→∞)。

fが有界なのはわかりました。べつに最大のものとしなくてもf(p^k)≧1のものすべての積を考えればよいですね。
次に、n→∞でa[n]→∞ですが、(2)のヒントに書いてあるのはこのことだと想像しました。a[n]<Kとなるnは有限個(Kによるけど)ということですよね？

回答No.4

tmppassenger

はい、(1)(2)(3)とも、いいと思います。

回答の通り、fが有界になることと、「自然数nに対してnを割り切る最大の素数べきをa[n]としてa[n]→∞ (n→∞)」となる、という点がポイントですね。

お礼

ありがとうございました。
とても助かりました。

回答No.2

tmppassenger

一先ず、以下を示してください

(1) fが有界であることを示せ。つまり、ある正実数Cがあって、任意の正整数nに対して f(n)≦Cとなることを示せ。

ヒント: lim[p^k→∞] f(p^k)=0 であるから、ある 正整数Mがあって、p^k > Mなら f(p^k) < 1 となる。従って {p^k}達のなかで、f(p^k)≧1 となるのは有限個。それぞれの素数pに対し、 f(p^k)が『1以上の』最大となるような p^kを取ってきて（素数pによってはない、つまりどんなkに対してもf(p^k) < 1となる場合もある、この場合は除外）、それらの積を考えよ

(2) 任意の正整数 Kに対して、次のような正整数 Nがあることを示せ
「n≧Nなる任意の正整数nに対し、ある素数のべき p^k が存在して（p^kはnによって変わり得る）、p^k > K かつ p^k | n となる」

ヒント: それぞれの素数pに対して、p^kの形で K以下となるようなもののうち最大のものを取ってきて（素数pによってはない場合もある）、それら全ての積に1を足したものをnとせよ。

お礼

ありがとうございます。
(2)について考えてみました。
自然数nに対してnを割り切る最大の素数べきをa[n]として
a[n]→∞ (n→∞)が成り立つ気がしてきました。

任意の正整数Kに対してあるNが存在してn>Nならばa[n]>Kを示せばよい。
ヒントのとおりp^kの形で表せるものでK以下となるようなもののうち最大のものを取ってきてそれらの積に1を足したものをNとすると
n>Nのとき
nがKより大きい素数で割り切れるならa[n]>Kである。
nがKより大きい素数で割り切れないならnはK以下の素数の素数べきの積として表せて、もしa[n]≦Kならn≦Nとなってしまうのでa[n]>Kでなければならない。
いずれにしてもa[n]>Kである。

回答No.1

tmppassenger

取り敢えず fが有界であることは示せますか？

お礼

ありがとうございます。
いただいたヒントのおかげで示せました。